布爾矩陣

布爾矩陣及其運算

概念：

布爾矩陣（boolean matrix）或叫位矩陣（bit matrix）是元素為0或1的矩陣；

運算：

1，補（compiement）

設A=[a_ij]是一個m×n的布爾矩陣，補就是把原矩陣中的0變為1，1變為0；

2，並（join）

設A=[a_ij],B=[b_ij],是兩個m×n的矩陣則並為AνB=C=[c_ij],其中

cij= 1 若a_ij=1或b_ij=1；

cij= 0 若aij=0且bij=0；

直觀地：將A，B中的0去掉，重疊兩個矩陣之后，補上0即可

3，交（meet）

設A=[aij],B=[bij],是兩個m×n的矩陣則交為AΛB=D=[d_ij],其中

d_ij= 1 若a_ij=1且b_ij=1；

d_ij= 0 若a_ij=0或b_ij=0；

直觀地：將A，B中的1去掉，重疊兩個矩陣之后，補上1即可

4，布爾積（boolean product）

設A=[a_ij],B=[b_ij],是兩個m×n的布爾矩陣，則定義A和B的布爾積為A×B=C=[c_ij]；

c_ij= 1 若存在k（1≤k≤n）使得a_ik=1且b_kj=1；

c_ij= 0 否則；

布爾矩陣的積cij對應的A里的i行和B里的j行對應元素進行與操作，之后多所有的與操作或一下；

差異：

1，普通矩陣乘法

AXB=C=[c_ij]

   c_ij=∑_k（a_ik×b_kj）

2，布爾矩陣

A×B=C=[c_ij]

   c_ij=ν_k（a_ikΛb_kj）

 

5，一些規律

假設布爾矩陣A,B,C具有兼容大小，則

a）交換律

          AVB=BVA, AΛB=BΛA

b）結合律

(AVB)VC=AV(BVC)

(AΛB)ΛC=AΛ(BΛC)

(AXB)XC=AX(BXC)

c）分配律

AΛ(BVC)=（AΛB)V(AΛC)

AV(BΛC)=(AVB)Λ(AVC)

d） 轉置

           (AVB)^T=A^TVB^T 

(AΛB)^T=A^TΛB^T

   （A^TXB^T)=B^TXA^T