復變函數筆記\(—(2)積分\)

往期：
 第零篇 前置知識
 第一篇 基本概念

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復變函數積分

曲線積分

 在第零篇中已經簡單介紹了第二類曲線積分，這里再對於一些將用到的內容進行復述和補充。

 曲線積分，顧名思義就是積分區域為一條線的積分，如果接着對被積函數分類，就可分出第一類和第二類曲線積分。
 第一類的被積函數是 \(f:\mathbb{R}^2→\mathbb{R}\)，所以第一類曲線積分就是形如：

\[\int_{L} f ds \]

的積分，其中 \(ds\) 是長度微元，滿足 \(ds^2=dx^2+dy^2\)，其計算也與普通的一元函數積分大同小異，換元即可。
 而第二類的被積函數是 \(\vec{F}:\mathbb{R}^2→\mathbb{R}^2\)，所以第二類曲線積分就是形如：

\[\int_{L} \vec{F}·\vec{ds}=\int_{C} Pdx+Qdy \]

的積分，其中 \(\vec{F}=(P,Q),\vec{ds}=(dx,dy)\)。對於第二類曲線積分的計算，在第零篇中也已簡單介紹。
 在這里我們補充指出，曲線積分可以將積分區域分開，分別進行計算再相加。並且對於曲線積分，積分值與積分區域的方向是有關的，還能得出若曲線方向相反，積分值變為相反數。

復變函數積分

 若將復變函數 \(f(z)\) 看作：

\[f(x+yi)=u+vi=F(x,y)=(u,v) \]

那么復變函數積分的本質就可看作第二類曲線積分。

 這里我們以一個例子演示復積分的一種基本算法。

\[I=\int_{C} \frac{1}{(z-z_{0})^n}dz \]

 其中 \(C=\{z| \mid z-z_{0} \mid =r\}\)，即以 \(z_{0}\) 為圓心，\(r\) 為半徑的圓。
 進行換元 \(z=z_{0}+re^{iθ},θ∈[0,2π]\)，於是有 \(dz=ire^{iθ}dθ\)，即：

\[\begin{aligned} I&=\int^{2π}_{0} \frac{ire^{iθ}}{(re^{iθ})^n}dθ \\ &=\frac{i}{r^{n-1}}\int^{2π}_{0} \frac{dθ}{e^{i(n-1)θ}} \\ &=\frac{i}{r^{n-1}}\int^{2π}_{0} e^{i(1-n)θ}dθ \end{aligned} \]

 這里對 \(n\) 的取值進行分類，當 \(n=1\) 時，有：

\[I=i\int^{2π}_{0}dθ=2πi \]

 當 \(n≠0\) 時，有：

\[\begin{aligned} I&=\frac{i}{r^{n-1}}\int^{2π}_{0}e^{i(1-n)θ} \\ &=\frac{i}{r^{n-1}}·\left.\frac{1}{i(1-n)}e^{i(1-n)θ}\right|_{0}^{2π} \\ &=0 \end{aligned} \]

 綜上，有：

\[I=\int_{C} \frac{dz}{(z-z_{0})^n}=\left\{\begin{array}{l} 2πi~,n=1\\ 0~,n≠1 \end{array}\right. \]

 這是一個很經典的積分，在后面的定理里也會它的影子。


 在這里不及時地提出，復變函數的原函數和實函數中的相同，先定義解析函數的變限積分：

\[F(z)=\int^{z}_{z_{0}}f(ζ)dζ \]

 類似地可以驗證 \(F'(z)=f(z)\)，且 \(F\) 在對應區域內也解析。


 在這里還提出將會用到的格林公式：若 \(P,Q\) 在區域 \(D\) 上具有連續偏導，則有

\[\int_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy \]

 其證明只需先考慮簡單的凸的積分區域，通過基礎變換證明，然后通過積分區域的加減證明普遍情況。

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性質與定理

柯西基本定理

柯西基本定理：
 若 \(f\) 在單連通區域 \(D\) 內解析，\(C\) 為 \(D\) 內一閉合曲線，則有：

\[\int_{C}f(z)dz=0 \]

證明：
 如先前一樣處理，設 \(f=u+iv\)，於是有：

\[\begin{aligned} I&=\int_{C}f(z)dz \\ &=\int_{C}(u+iv)(dx+idy) \\ &=\int_{C}(u+iv)dx+(-v+iu)dy \end{aligned} \]

 這里運用格林公式，並帶入函數解析的柯西-黎曼方程，則得到：

\[\begin{aligned} I&=\int_{C}(u+iv)dx+(-v+iu)dy \\ &=\iint -\frac{\partial v}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}-i\frac{\partial v}{\partial y}~dxdy \\ &=\iint -(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y})+i(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y})~dxdy\\ &=\iint 0~dxdy \\ &=0 \end{aligned} \]

 這個定理體現出了解析的一種深層次性質，后面我們還會指出該定理類似的逆定理也成立。

推論

推論 \(1.1\)
 若 \(f\) 在單連通區域 \(D\)內解析，\(L_{1},L_{2}\) 為 \(D\) 內兩條起點相同，終點也相同的路徑，則：

\[\int_{L_{1}}fdz=\int_{L_{2}}fdz \]

 即解析區域內的積分只與起點終點有關，與路徑無關。

證明：

 不難看出，若將 \(L_{1}\) 反向，則 \(L^{-}_{1}\) 和 \(L_{2}\) 就可連接形成一條閉合曲線，對此運用柯西基本定理：

\[\begin{aligned} \int_{L^{-}_{1}}fdz+\int_{L_{2}}fdz=0 \\ -\int_{L_{1}}fdz+\int_{L_{2}}fdz=0 \\ \int_{L_{1}}fdz=\int_{L_{2}}fdz \end{aligned} \]

推論 \(1.2\)
 若 \(f\) 在單連通區域 \(D\) 內解析，在 \(\partial D\) 上連續，則有：

\[\int_{\partial D}fdz=0 \]

證明：
 首先我們假定 \(\partial D\) 滿足：在 \(D\) 中存在一點，從改點開始的射線與 \(\partial D\) 只有一個交點，不妨設這個點就是原點（非原點平移即可）。於是 \(\partial D\) 可用 \(z=r(θ)e^{iθ}\) 表示，其中 \(r(θ)\) 為單值函數。
 現考慮曲線 \(C:z'=kz=kr(θ)e^{iθ},k∈(0,1)\) 即：

 一定有 \(C⊂D\)（若 \(\partial D\) 不滿足假設，則該關系不一定成立），所以根據柯西基本定理：

\[\int_{C} f(z')dz'=0 \]

 然后進行換元，令 \(z=\frac{1}{k}z'\)，則積分區域從 \(C\) 變為 \(“~\frac{1}{k}C~”=\partial D\)，即：

\[\begin{aligned} \int_{C}f(z')dz'&=\int_{\partial D}f(kz)d(kz) \\ &=k\int_{\partial D}f(kz)dz \\ &=0 \end{aligned} \]

 且因為 \(k≠0\)，所以 \(\int_{\partial D}f(kz)dz=0\)，那么：

\[\begin{aligned} I&=\int_{\partial D}f(z)dz \\ &=\int_{\partial D}f(z)dz-0 \\ &=\int_{\partial D}f(z)-f(kz) dz \end{aligned} \]

 因為 \(f\) 在 \(\partial D\) 上連續，在 \(D\) 上解析，所以 \(f\) 在 \(\bar{D}\) 上連續，且一致連續（在閉集上連續則一致連續）。所以對於任意的 \(ε>0\)，總存在 \(δ\) 使得對於任何 \(z_{1},z_{2}\) 滿足：

\[當~|z_{1}-z_{2}|<δ~時，則~|f(z_{1})-f(z_{2})|<ε \]

 將上式的 \(z_{1},z_{2}\) 代為 \(z\) 和 \(kz\)，那么只需要取 \(δ>(1-k)max\{r(θ)\}\)，則有 \(δ>|z-kz|\)，所以對於任意的 \(ε>0\)，有：

\[\begin{aligned} |I|&=\left| \int_{\partial D}f(z)-f(kz) dz \right| \\ &≤\int_{\partial D}|f(z)-f(kz)| ds \\ &<\int_{\partial D}ε ds \\ &=lε \end{aligned} \]

 其中 \(l\) 為曲線 \(\partial D\) 長度，又因為 \(ε\) 是任意的，所以必有 \(I=0\)。

推廣

 如果讀者比較細心，能看出上面的定理和推論都是基於一個條件：單連通區域。我們不禁問道，在多連通下，這些定理的樣子又是怎樣？

 對於柯西基本定理，其對於單連通的要求也只是為了讓函數在閉合曲線內部也解析，因為推導中涉及了在這上面的二重積分。所以只要閉合曲線內部依然是解析的，定理就還成立，推論 \(1.1\) 也是如此。
 但對於推論 \(1.2\)，只要區域 \(D\) 多連通，則 \(\partial D\) 內必有不一定解析的地方，所以需要進行一定處理。

 這里區域 \(D\)（灰色）為多連通區域，其邊界 \(\partial D\) 由 \(C_{0},C_{1},C_{2},...\) 組成，函數 \(f\) 在 \(D\) 上解析，在 \(\partial D\) 上連續。
 為了使多連通區域與也就有研究過的單連通區域相聯系，我們作出兩條路徑 \(L_{1},L_{2}\)。注意到，這兩條路徑將 \(\partial D\) 的所有部分都連為了一條：\(C_{0}\) \(→\) \(L_{1}\) \(→\) \(C_{1}\) \(→\) \(L^{-}_{1}\) \(→\) \(L_{2}\) \(→\) \(C_{2}\) \(→\) \(L^{-}_{2}\) \(→\) \(C_{0}\)。若將 \(L_{1},L_{2}\) 從 \(D\) 中除去，那么 \(D\) 就變為了單連通區域，想象將一張有洞的紙剪開使洞與邊界相連，變成一張沒洞的紙。

 顯然，\(f\) 在這個新單連通區域上解析，在其邊界上連續，所以可以應用推論 \(1.2\)。又因為 \(L_{1},L_{2}\) 在積分時都正着走了一遍，逆着走了一遍，故為 \(0\)，所以得：

\[\int_{C_{0}}fdz+\int_{C_{1}}fdz+\int_{C_{2}}fdz=0 \]

即：

\[\int_{\partial D}fdz=0 \]

 所以推論 \(1.2\) 在多連通區域上也成立。

（在這里可以看出來，有一些與積分區域有關的性質，本質和積分區域的具體描述無關，更多的和積分區域的一種像連通性這樣更深層次的性質有關，這些其實就是拓撲性質）

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 以上是本篇所有內容，主要介紹了柯西基本定理和其一點推論以及向多連通區域的推廣。
 寫於 2022.5.1 勞動節（自豪后仰）。