第一章:
復數的模，三角表示法，指數表示法，求根與求冪，平面映射
復數為x + yi
復數的模為 sqrt(x2 + y2)
復數的三角表達式為 sqrt(x2 + y2)(cosθ + sinθ * i)
復數的指數表達式為 sqrt(x2 + y2)eiθ
求復數的n次冪可使用指數表達式簡化計算
求復數的i次根號可使用sqrt(x2 + y2)eiθ + 2kπ的i次根號求得， 一共有i個解 k = 0,1,2,,,,,,i-1
平面映射 w = 1/z
設w = u + i*v z = x + y*i
帶入w = 1/z可得 x = u/(u2 + v2) y = -v/(u2 + v2)
帶入z平面中的方程即可得到w平面上對應的方程
第二章:
可導性，解析性，初等函數的化簡
可導:從各個方向趨近於點p的導數相同即點p可導
可微:同一元函數
解析:在p和p的鄰域內處處可導
可導的充要條件:
f(z) = u(x,y) + i*v(x,y)
u,v在定義域點x+iy可微且滿足柯西黎曼方程
柯西黎曼方程: ∂u / ∂x = ∂v / ∂y ∂u / ∂y = -∂v / ∂x
解析的充要條件:
f(z) = u(x,y) + i*v(x,y)
u,v在定義域D內處處可微且滿足柯西黎曼方程
柯西黎曼方程: ∂u / ∂x = ∂v / ∂y ∂u / ∂y = -∂v / ∂x
區別在於一個是點，一個是定義域
初等函數
大部分初等函數服從實數域上初等函數的性質
z = x + i*y
ez = ex(cosy + i siny)
ez + 2kπi = ez
Lnz = ln(|z|) + i Argz
因為角度又可以加2kπ
所以定義主值為 ln(|z|) + i argz
chZ = (ez + e-z ) / 2
shZ = (ez - e-z ) / 2
thZ = (ez - e-z ) / (ez + e-z )
chZ' = shZ
shZ' = chZ
cos(Z) = (ezi + e-zi ) / 2
sin(Z) = (ezi - e-z i) / 2
ab = eblna
第三章
積分的定義同實數域上的相同，但與實數域不同的是，面積不一定是實數，有可能是虛數
當f(z)解析時，積分為0，不解析時，使用如下解法
積分的計算方法1:
按照積分曲線，將x，y用t表示，將i當成常數提出來，然后就是普通的積分了，要注意的是，dz也要相應的轉化為dt
柯西古薩基本定理:
若f(z)在單通區域內處處解析，那么f(z)沿B內的任何一條封閉曲線C的積分為0
復合閉路定理:
設C為多聯通區域D的一條簡單閉曲線，C1，，，，，Cn是在C內部的簡單閉曲線，他們不包含也互補相交
並且C，C1，，，，，Cn為邊界的區域全含與D，如果f(z)在D那么
∫f(z)dz 在C上的積分=在C1，，，，，Cn上積分的和
∫ 1 / (z-z0) dz = 2πi
∫ 1 / (z-z0)n dz = 0 n>=2
積分的計算方法2:
求積分時將導致函數不解析的點提取出來
將積分區域分割成一部分一部分的小塊，每一小塊包含一個不解析點
將函數轉化為 1/(z - z0)的形式即可求得積分
積分的計算方法3:
f(z0) = 1 / 2πi * ∫ f(z) / (z-z0) dz
fn(z0) = n! / 2πi * ∫ f(z) / (z-z0)n+1 dz
由已知的調和函數求解析函數
函數是調和函數的充要條件：
α2Φ / αx2 + α2Φ / αy2 = 0
若函數f(x,y) = u(x,y) + i*v(x,y)中的u， v滿足柯西黎曼方程
則稱u，v為共軛調和函數
第四章
判斷級數是否收斂
1.分別判斷實部和虛部是否收斂，若均收斂則級數收斂
2.將級數用e來表達，若收斂，則級數收斂 參見P142 1.2
判斷是否收斂
把級數分為兩個部分，每個部分都要滿足收斂條件
an+1 / an < 1
n√￣an < 1
滿足這兩個條件即收斂
絕對收斂性
判斷n->∞|an|是否收斂
要記住Σ 1/n發散
冪級數的收斂半徑
冪級數為 Σai*zi
那么收斂半徑為 1/limnΓ|an|
若lim|cn+1 / cn|為常數u
則收斂半徑 為 1/u
函數的冪級數展開
常見冪級數展開有 1 / (1 - z) = 1 + z + z2 + ......+ zn
對於一個函數我要想辦法把他轉變為1 / (1 - f(z)) 這樣我的冪級數展開就可以寫為
在轉化過程時
對於原函數g(z)
我找到距離展開點最近的奇點
在這個范圍內畫圓
在我對函數進行變形的過程時
保證在這個范圍內，函數一直是解析的即可
1 / (1 - f(z)) = 1 + f(z) + f2(z) + ....... + fn(z)
若要求在z0處展開
則要將函數轉化為 1 / (1 - f(z - z0))
對於負高次函數，可通過 1 / (1 - f(z - z0))求導的方式來獲得泰勒展開式
洛朗級數
若f(z)在z0處不解析，那就不能使用冪級數展開了
這個時候就可以使用洛朗級數展開
對於給定圓環域
我先將函數展開成f(z) = Σ g(z) * 1 / (1 - c(z)) 的形式
要求c(z) 在給定圓環域內 n ->∞時 c(z)n必須收斂
然后再按照冪級數展開的方式去做即可
第五章
奇點，極點
若f(z) 在z0處不解析 則z0為f(z)的奇點
若lim z -> z0 f(z) 為常數，則z0為f(z)的可去奇點
若lim z -> z0 f(z) = ∞，則z0為f(z)的極點
若lim z -> z0 f(z) = 不存在，則z0為f(z)的本性奇點
對於極點來說，若z0重復出現n次，則z0為n級極點
若f(z) = P(z) / Q(z)
那么 z0是Q(Z)的n級0點，是P(z)的m級0點
那么z0是f(z)的n - m級極點
留數
若z0為f(z)的一級奇點
Res(f(z), z0) = lim z->z0 (z - z0) *f(z)
若z0為f(z)的m級奇點
Res(f(z), z0) = lim z->z0 1/(m-1)! * ( dm-1(z-z0)m f(z) ) / dzm-1
若f(z) = P(z) / Q(z)
若z0為一級極點
那么Res(f(z), z0) = lim z->z0 P(z) / Q'(z)
對於f(z)其在復平面上所有留數的和為0，若圓周內留數過多，可求圓周外的留數的相反數來代替元周內的留數
Res(f(z), ∞) = Res(f(1/z) * 1 / z2, 0)
留數定理
∫ f(z)dz = 2πi*Res(f(z), z0)
要求圓域內只有z0一個極點
求定積分
sinθ = (z2 - 1 )/ 2iz
cosθ = (z2 + 1 )/ 2z
dθ = dz / iz