復變函數筆記\(—(1)基本概念\)
復數
復數的大部分基礎知識在中學階段就已涉及，這里只是簡單復述和一點拓展。
定義
形如 \(z=x+iy\) 的數稱為復數，其中 \(i\) 為虛數單位，滿足 \(i^{2}=-1\)，且 \(x,y∈\mathbb{R}\)。\(x\) 稱為復數 \(z\) 的實部，記作 \(x=Re(z)\)；同理，\(y\) 稱為復數 \(z\) 的虛部，記作 \(y=Im(z)\)。若兩個復數實部虛部均相同，就說這兩個復數相等。
眾所周知，實數可以在一條直線——數軸 \(\mathbb{R}\) 上表示，復數也可以在一個平面——復平面 \(\mathbb{C}\) 上表示。
復數的加減乘除和實數有着一樣的定義，同樣也滿足交換律、結合律......等一系列性質，在運算時只是需注意下 \(i^{2}=-1\) 即可。
對於復數的整數次冪，有着和實數一樣的定義：
若 \(w^{n}=z\)，則 \(w\) 稱為 \(z\) 的 \(n\) 次方根，記作 \(w=\sqrt[n]{z}\)。不難看出，對於復數 \(z≠0\) 的 \(n\) 次方根有 \(n\) 個不同的值。
表示
復數除了在笛卡爾坐標中的表示方法 \(z=x+iy\) 以外，還可以把復平面放入極坐標中表示為：
其中 \(r\) 為 \(z\) 的模（即復平面中 \(z\) 到原點的距離，記作 \(r=|z|\)），\(\varphi\) 為 \(z\) 的輻角（記作 \(\varphi=Arg(z)\)）。
不難看出，一個復數的模是唯一的，但是輻角並不唯一，相互可以相差 \(2k\pi\)，所以通常用 \(arg\) 表示輻角中的一個，並通常會給出其范圍。本文約定 \(arg\) 范圍為 \([0,2\pi]\)。
在極坐標中對復數的表示感覺略顯復雜，還包括三角函數，但其實可以通過有名的歐拉公式（之一）對其化簡，變為：
通過這個可以得到，兩個復數相乘等於其模相乘、輻角相加。
復變函數
區域
在復平面中的點集 \(D\) 滿足：
\(1.\)開集性：對於任意 \(z∈D\)，都存在 \(z\) 的鄰域 \(U(z)⊂D\)。
\(2.\)連通性：對於任意 \(z_{1},z_{2}∈D\)，都可以用包含於 \(D\) 的折線相連。
那么稱 \(D\) 為復平面上的一個區域。
對於區域 \(D\)，如果點 \(z\) 的任意鄰域都有屬於 \(D\)，也有不屬於 \(D\) 的點，則稱 \(z\) 為區域 \(D\) 的邊界點。由所有邊界點組成的點集稱為邊界，記作 \(∂D\)。因為區域都具有開集性，所以顯然區域的邊界點都不屬於該區域，即：
區域同它邊界合在一起稱為閉包，記作 \(\bar{D}\)，即：
假定區域的邊界都是由有限多的閉合曲線、截痕、點組成的，例如：
再定義邊界被分成若干獨立連接部分，這些部分的數目就為連通階數。在上圖中，區域為二階連通區域，閉合曲線和截痕為一部分，點為一部分。
對於單連通區域（一階連通區域），取邊界上一點，順着邊界沿某方向走，保證區域始終在左邊，這個方向就稱為正方向。再定義對於單連通區域，沿正方向走一圈，某個邊界點被進過的次數稱為重數，一重點又稱單點。例如單連通區域：
其中正方形為紅色箭頭方向，且點 \(A\) 是三重點，\(B\) 是單點，\(C\) 是二重點。
定義的拓展
\(\mathbf{1.}\)復變函數
（別問為什么“復變函數”做了怎么多標題，因為想不到更概括的）
函數 \(f\) 如果是從 \(\mathbb{C}\) 映射到 \(\mathbb{C}\)，則稱 \(f\) 為復變函數。
如果復變函數 \(f\) 是映射上的單射，則稱 \(f\) 是單值的；若是雙射，則稱 \(f\) 是一一的或單葉的。
\(\mathbf{2.}\)極限
對於復變函數 \(f(z)=w\)，其中 \(z=x+iy\)、\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)（把復變函數變為兩個二元實函數），如果：
兩個極限都存在，則稱 \(f(z)\) 在點 \(z_{0}=x_{0}+iy_{0}\) 的極限為 \(w_{0}=u_{0}+iv_{0}\)，記作：
通過研究實變函數相似的方法，可知實變函數關於極限的基本性質對於復變函數依然滿足。該強調，復變函數的極限與趨近方式無關。
\(\mathbf{3.}\)連續
當復變函數 \(f\) 在 \(z_{0}\) 點的極限為其在該點取值時，即：
則稱 \(f\) 在點 \(z_{0}\) 處連續。
通過前面極限的定義，可以看出，\(f\) 在點 \(z_{0}\) 連續的充要條件是函數 \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 在點 \((x,y)\) 連續。順帶指出，若函數 \(f\) 在區域 \(D\) 中每一點都連續，則稱 \(f\) 在區域 \(D\) 內連續，記作：
其中 \(\mathcal{C}(D)\) 表示在 \(D\) 內所有連續函數的集合，類似的有 可微 \(\mathcal{C}'(A)\)、線性 \(\mathcal{L}(A)\) 等。
同時，有界、一致連續等定義也和實變函數中的定義相似。當然，連續同樣也可以像實變函數一樣用 \(δ,ε\) 語言定義。
通過連續，這里給出一個定理（其實是另一種等價定義），但不加證明（證明需用一點拓撲學知識）：
若函數 \(w=f(z)\) 為區域 \(D\) 到 \(M\) 的單葉連續映射，
則 \(M\) 也為一個區域，且反函數 \(z=f^{-1}(w)\) 也為區域 \(M\) 內的單葉連續映射。
\(\mathbf{4.}\)可微
如果函數 \(f(z)\) 在點 \(z\) 附近，如果極限：
存在，則稱 \(f(z)\) 在點 \(z\) 處可微（可導），且稱該極限的值為 \(f(z)\) 在點 \(z_{0}\) 的導數。
關於可微，有個十分著名的充要條件，即柯西-黎曼方程：
（關於這個名字，其實最初提出該方程的是達朗貝爾和歐拉）
接下來只證明其必要性：
設函數 \(f\) 在點 \(z\) 可微（依然設 \(f=u+iv\) 和 \(z=x+iy\)），即 \(\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}\) 存在。又因為復變函數極限與趨近方式無關，所以先令 \(z+h\) 的虛部和 \(z\) 相同，而從實部趨近於 \(z\)，那么極限可變為：
將 \(u\) 湊在一起，\(v\) 湊在一起，不難發現有兩個偏導的定義式，將 \(v\) 的系數 \(i\) 提出得到原極限為：
類似地，令 \(z+h\) 的實部等於 \(z\) 的實部，從虛部趨近 \(z\)，可得到原極限還等於：
因為兩種趨近方式得到的結果應該一樣，所以有：
於是就證明了其充分性。而必要性就利用多元函數的全微分，將 \(f(z+h)-f(z)\) 寫為 \(u,v\) 的全微分形式，最后證得 \(f(z+h)-f(z)\) 的值等於 \(Ah+o(h)\)，其中 \(A\) 與 \(h\) 無關，兩邊除以 \(h\) 即得導數存在，即可微。
解析
復變函數論又稱解析函數論，可見解析在復變中是一個極為重要的性質。
若函數 \(f\) 在區域 \(D\) 內處處可微，則稱 \(f\) 在區域 \(D\) 內解析，\(f\) 為區域 \(D\) 內的解析函數。
若對數學中函數的一些性質有一定了解，可發現“解析”這個性質是極強的性質，所以解析函數的性質也十分優秀。甚至有種說法，復變函數是研究性質最好的函數，而實變函數是研究性質最差的函數。從后面的學習也可知“解析”這個性質確實可以推出很多優美的結論。
以上就是本篇全部內容。下一篇時間隨緣吧。