复变函数笔记\(—(1)基本概念\)

复数

 复数的大部分基础知识在中学阶段就已涉及，这里只是简单复述和一点拓展。

定义

 形如 \(z=x+iy\) 的数称为复数，其中 \(i\) 为虚数单位，满足 \(i^{2}=-1\)，且 \(x,y∈\mathbb{R}\)。\(x\) 称为复数 \(z\) 的实部，记作 \(x=Re(z)\)；同理，\(y\) 称为复数 \(z\) 的虚部，记作 \(y=Im(z)\)。若两个复数实部虚部均相同，就说这两个复数相等。
 众所周知，实数可以在一条直线——数轴 \(\mathbb{R}\) 上表示，复数也可以在一个平面——复平面 \(\mathbb{C}\) 上表示。
 复数的加减乘除和实数有着一样的定义，同样也满足交换律、结合律......等一系列性质，在运算时只是需注意下 \(i^{2}=-1\) 即可。
 对于复数的整数次幂，有着和实数一样的定义：

\[z^{n}=\underbrace{z·z·...·z}_{n个z} \]

 若 \(w^{n}=z\)，则 \(w\) 称为 \(z\) 的 \(n\) 次方根，记作 \(w=\sqrt[n]{z}\)。不难看出，对于复数 \(z≠0\) 的 \(n\) 次方根有 \(n\) 个不同的值。

表示

 复数除了在笛卡尔坐标中的表示方法 \(z=x+iy\) 以外，还可以把复平面放入极坐标中表示为：

\[z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) \]

 其中 \(r\) 为 \(z\) 的模（即复平面中 \(z\) 到原点的距离，记作 \(r=|z|\)），\(\varphi\) 为 \(z\) 的辐角（记作 \(\varphi=Arg(z)\)）。
 不难看出，一个复数的模是唯一的，但是辐角并不唯一，相互可以相差 \(2k\pi\)，所以通常用 \(arg\) 表示辐角中的一个，并通常会给出其范围。本文约定 \(arg\) 范围为 \([0,2\pi]\)。
 在极坐标中对复数的表示感觉略显复杂，还包括三角函数，但其实可以通过有名的欧拉公式（之一）对其化简，变为：

\[z=re^{i\varphi} \]

 通过这个可以得到，两个复数相乘等于其模相乘、辐角相加。

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复变函数

区域

 在复平面中的点集 \(D\) 满足：
\(1.\)开集性：对于任意 \(z∈D\)，都存在 \(z\) 的邻域 \(U(z)⊂D\)。
\(2.\)连通性：对于任意 \(z_{1},z_{2}∈D\)，都可以用包含于 \(D\) 的折线相连。
 那么称 \(D\) 为复平面上的一个区域。

 对于区域 \(D\)，如果点 \(z\) 的任意邻域都有属于 \(D\)，也有不属于 \(D\) 的点，则称 \(z\) 为区域 \(D\) 的边界点。由所有边界点组成的点集称为边界，记作 \(∂D\)。因为区域都具有开集性，所以显然区域的边界点都不属于该区域，即：

\[∂D⊄D \]

 区域同它边界合在一起称为闭包，记作 \(\bar{D}\)，即：

\[\bar{D}=D\cup ∂D \]

 假定区域的边界都是由有限多的闭合曲线、截痕、点组成的，例如：

 再定义边界被分成若干独立连接部分，这些部分的数目就为连通阶数。在上图中，区域为二阶连通区域，闭合曲线和截痕为一部分，点为一部分。
 对于单连通区域（一阶连通区域），取边界上一点，顺着边界沿某方向走，保证区域始终在左边，这个方向就称为正方向。再定义对于单连通区域，沿正方向走一圈，某个边界点被进过的次数称为重数，一重点又称单点。例如单连通区域：

 其中正方形为红色箭头方向，且点 \(A\) 是三重点，\(B\) 是单点，\(C\) 是二重点。

定义的拓展

\(\mathbf{1.}\)复变函数

（别问为什么“复变函数”做了怎么多标题，因为想不到更概括的）
 函数 \(f\) 如果是从 \(\mathbb{C}\) 映射到 \(\mathbb{C}\)，则称 \(f\) 为复变函数。
 如果复变函数 \(f\) 是映射上的单射，则称 \(f\) 是单值的；若是双射，则称 \(f\) 是一一的或单叶的。

\(\mathbf{2.}\)极限

 对于复变函数 \(f(z)=w\)，其中 \(z=x+iy\)、\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)（把复变函数变为两个二元实函数），如果：

\[\lim\limits_{x \to x_{0} \atop y \to y_{0}} u(x,y)=u_{0} \]

\[\lim\limits_{x \to x_{0} \atop y \to y_{0}} v(x,y)=v_{0} \]

 两个极限都存在，则称 \(f(z)\) 在点 \(z_{0}=x_{0}+iy_{0}\) 的极限为 \(w_{0}=u_{0}+iv_{0}\)，记作：

\[\lim\limits_{z \to z_{0}} f(z)=w_{0} \]

 通过研究实变函数相似的方法，可知实变函数关于极限的基本性质对于复变函数依然满足。该强调，复变函数的极限与趋近方式无关。

\(\mathbf{3.}\)连续

 当复变函数 \(f\) 在 \(z_{0}\) 点的极限为其在该点取值时，即：

\[\lim\limits_{z \to z_{0}} f(z)=f(z_{0}) \]

 则称 \(f\) 在点 \(z_{0}\) 处连续。

 通过前面极限的定义，可以看出，\(f\) 在点 \(z_{0}\) 连续的充要条件是函数 \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 连续。顺带指出，若函数 \(f\) 在区域 \(D\) 中每一点都连续，则称 \(f\) 在区域 \(D\) 内连续，记作：

\[f(z)∈\mathcal{C}(D) \]

 其中 \(\mathcal{C}(D)\) 表示在 \(D\) 内所有连续函数的集合，类似的有 可微 \(\mathcal{C}'(A)\)、线性 \(\mathcal{L}(A)\) 等。
 同时，有界、一致连续等定义也和实变函数中的定义相似。当然，连续同样也可以像实变函数一样用 \(δ,ε\) 语言定义。

 通过连续，这里给出一个定理（其实是另一种等价定义），但不加证明（证明需用一点拓扑学知识）：
 若函数 \(w=f(z)\) 为区域 \(D\) 到 \(M\) 的单叶连续映射，
 则 \(M\) 也为一个区域，且反函数 \(z=f^{-1}(w)\) 也为区域 \(M\) 内的单叶连续映射。

\(\mathbf{4.}\)可微

 如果函数 \(f(z)\) 在点 \(z\) 附近，如果极限：

\[\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} \]

 存在，则称 \(f(z)\) 在点 \(z\) 处可微（可导），且称该极限的值为 \(f(z)\) 在点 \(z_{0}\) 的导数。

 关于可微，有个十分著名的充要条件，即柯西-黎曼方程：

\[f(z)=u+iv~在点~z~可微 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u(z)}{\partial x}=\frac{\partial v(z)}{\partial y} \\ \frac{\partial u(z)}{\partial y}=-\frac{\partial v(z)}{\partial x} \end{array}\right. \]

 （关于这个名字，其实最初提出该方程的是达朗贝尔和欧拉）
 接下来只证明其必要性：

 设函数 \(f\) 在点 \(z\) 可微（依然设 \(f=u+iv\) 和 \(z=x+iy\)），即 \(\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}\) 存在。又因为复变函数极限与趋近方式无关，所以先令 \(z+h\) 的虚部和 \(z\) 相同，而从实部趋近于 \(z\)，那么极限可变为：

\[\lim\limits_{h \to 0}\frac{u(x+h,y)+iv(x+Δx,y)-(u+iv)}{h} \]

 将 \(u\) 凑在一起，\(v\) 凑在一起，不难发现有两个偏导的定义式，将 \(v\) 的系数 \(i\) 提出得到原极限为：

\[f'=\frac{∂u}{∂x}+i\frac{∂v}{∂x} \]

 类似地，令 \(z+h\) 的实部等于 \(z\) 的实部，从虚部趋近 \(z\)，可得到原极限还等于：

\[f'=\frac{∂v}{∂y}-i\frac{∂u}{∂y} \]

 因为两种趋近方式得到的结果应该一样，所以有：

\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{∂u}{∂x}=\frac{∂v}{∂y} \\ \frac{∂u}{∂y}=-\frac{∂v}{∂x} \end{array} \right. \]

 于是就证明了其充分性。而必要性就利用多元函数的全微分，将 \(f(z+h)-f(z)\) 写为 \(u,v\) 的全微分形式，最后证得 \(f(z+h)-f(z)\) 的值等于 \(Ah+o(h)\)，其中 \(A\) 与 \(h\) 无关，两边除以 \(h\) 即得导数存在，即可微。

解析

 复变函数论又称解析函数论，可见解析在复变中是一个极为重要的性质。

 若函数 \(f\) 在区域 \(D\) 内处处可微，则称 \(f\) 在区域 \(D\) 内解析，\(f\) 为区域 \(D\) 内的解析函数。

 若对数学中函数的一些性质有一定了解，可发现“解析”这个性质是极强的性质，所以解析函数的性质也十分优秀。甚至有种说法，复变函数是研究性质最好的函数，而实变函数是研究性质最差的函数。从后面的学习也可知“解析”这个性质确实可以推出很多优美的结论。

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 以上就是本篇全部内容。下一篇时间随缘吧。