复变函数笔记\(—(2)积分\)

往期：
 第零篇 前置知识
 第一篇 基本概念

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复变函数积分

曲线积分

 在第零篇中已经简单介绍了第二类曲线积分，这里再对于一些将用到的内容进行复述和补充。

 曲线积分，顾名思义就是积分区域为一条线的积分，如果接着对被积函数分类，就可分出第一类和第二类曲线积分。
 第一类的被积函数是 \(f:\mathbb{R}^2→\mathbb{R}\)，所以第一类曲线积分就是形如：

\[\int_{L} f ds \]

的积分，其中 \(ds\) 是长度微元，满足 \(ds^2=dx^2+dy^2\)，其计算也与普通的一元函数积分大同小异，换元即可。
 而第二类的被积函数是 \(\vec{F}:\mathbb{R}^2→\mathbb{R}^2\)，所以第二类曲线积分就是形如：

\[\int_{L} \vec{F}·\vec{ds}=\int_{C} Pdx+Qdy \]

的积分，其中 \(\vec{F}=(P,Q),\vec{ds}=(dx,dy)\)。对于第二类曲线积分的计算，在第零篇中也已简单介绍。
 在这里我们补充指出，曲线积分可以将积分区域分开，分别进行计算再相加。并且对于曲线积分，积分值与积分区域的方向是有关的，还能得出若曲线方向相反，积分值变为相反数。

复变函数积分

 若将复变函数 \(f(z)\) 看作：

\[f(x+yi)=u+vi=F(x,y)=(u,v) \]

那么复变函数积分的本质就可看作第二类曲线积分。

 这里我们以一个例子演示复积分的一种基本算法。

\[I=\int_{C} \frac{1}{(z-z_{0})^n}dz \]

 其中 \(C=\{z| \mid z-z_{0} \mid =r\}\)，即以 \(z_{0}\) 为圆心，\(r\) 为半径的圆。
 进行换元 \(z=z_{0}+re^{iθ},θ∈[0,2π]\)，于是有 \(dz=ire^{iθ}dθ\)，即：

\[\begin{aligned} I&=\int^{2π}_{0} \frac{ire^{iθ}}{(re^{iθ})^n}dθ \\ &=\frac{i}{r^{n-1}}\int^{2π}_{0} \frac{dθ}{e^{i(n-1)θ}} \\ &=\frac{i}{r^{n-1}}\int^{2π}_{0} e^{i(1-n)θ}dθ \end{aligned} \]

 这里对 \(n\) 的取值进行分类，当 \(n=1\) 时，有：

\[I=i\int^{2π}_{0}dθ=2πi \]

 当 \(n≠0\) 时，有：

\[\begin{aligned} I&=\frac{i}{r^{n-1}}\int^{2π}_{0}e^{i(1-n)θ} \\ &=\frac{i}{r^{n-1}}·\left.\frac{1}{i(1-n)}e^{i(1-n)θ}\right|_{0}^{2π} \\ &=0 \end{aligned} \]

 综上，有：

\[I=\int_{C} \frac{dz}{(z-z_{0})^n}=\left\{\begin{array}{l} 2πi~,n=1\\ 0~,n≠1 \end{array}\right. \]

 这是一个很经典的积分，在后面的定理里也会它的影子。


 在这里不及时地提出，复变函数的原函数和实函数中的相同，先定义解析函数的变限积分：

\[F(z)=\int^{z}_{z_{0}}f(ζ)dζ \]

 类似地可以验证 \(F'(z)=f(z)\)，且 \(F\) 在对应区域内也解析。


 在这里还提出将会用到的格林公式：若 \(P,Q\) 在区域 \(D\) 上具有连续偏导，则有

\[\int_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy \]

 其证明只需先考虑简单的凸的积分区域，通过基础变换证明，然后通过积分区域的加减证明普遍情况。

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性质与定理

柯西基本定理

柯西基本定理：
 若 \(f\) 在单连通区域 \(D\) 内解析，\(C\) 为 \(D\) 内一闭合曲线，则有：

\[\int_{C}f(z)dz=0 \]

证明：
 如先前一样处理，设 \(f=u+iv\)，于是有：

\[\begin{aligned} I&=\int_{C}f(z)dz \\ &=\int_{C}(u+iv)(dx+idy) \\ &=\int_{C}(u+iv)dx+(-v+iu)dy \end{aligned} \]

 这里运用格林公式，并带入函数解析的柯西-黎曼方程，则得到：

\[\begin{aligned} I&=\int_{C}(u+iv)dx+(-v+iu)dy \\ &=\iint -\frac{\partial v}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}-i\frac{\partial v}{\partial y}~dxdy \\ &=\iint -(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y})+i(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y})~dxdy\\ &=\iint 0~dxdy \\ &=0 \end{aligned} \]

 这个定理体现出了解析的一种深层次性质，后面我们还会指出该定理类似的逆定理也成立。

推论

推论 \(1.1\)
 若 \(f\) 在单连通区域 \(D\)内解析，\(L_{1},L_{2}\) 为 \(D\) 内两条起点相同，终点也相同的路径，则：

\[\int_{L_{1}}fdz=\int_{L_{2}}fdz \]

 即解析区域内的积分只与起点终点有关，与路径无关。

证明：

 不难看出，若将 \(L_{1}\) 反向，则 \(L^{-}_{1}\) 和 \(L_{2}\) 就可连接形成一条闭合曲线，对此运用柯西基本定理：

\[\begin{aligned} \int_{L^{-}_{1}}fdz+\int_{L_{2}}fdz=0 \\ -\int_{L_{1}}fdz+\int_{L_{2}}fdz=0 \\ \int_{L_{1}}fdz=\int_{L_{2}}fdz \end{aligned} \]

推论 \(1.2\)
 若 \(f\) 在单连通区域 \(D\) 内解析，在 \(\partial D\) 上连续，则有：

\[\int_{\partial D}fdz=0 \]

证明：
 首先我们假定 \(\partial D\) 满足：在 \(D\) 中存在一点，从改点开始的射线与 \(\partial D\) 只有一个交点，不妨设这个点就是原点（非原点平移即可）。于是 \(\partial D\) 可用 \(z=r(θ)e^{iθ}\) 表示，其中 \(r(θ)\) 为单值函数。
 现考虑曲线 \(C:z'=kz=kr(θ)e^{iθ},k∈(0,1)\) 即：

 一定有 \(C⊂D\)（若 \(\partial D\) 不满足假设，则该关系不一定成立），所以根据柯西基本定理：

\[\int_{C} f(z')dz'=0 \]

 然后进行换元，令 \(z=\frac{1}{k}z'\)，则积分区域从 \(C\) 变为 \(“~\frac{1}{k}C~”=\partial D\)，即：

\[\begin{aligned} \int_{C}f(z')dz'&=\int_{\partial D}f(kz)d(kz) \\ &=k\int_{\partial D}f(kz)dz \\ &=0 \end{aligned} \]

 且因为 \(k≠0\)，所以 \(\int_{\partial D}f(kz)dz=0\)，那么：

\[\begin{aligned} I&=\int_{\partial D}f(z)dz \\ &=\int_{\partial D}f(z)dz-0 \\ &=\int_{\partial D}f(z)-f(kz) dz \end{aligned} \]

 因为 \(f\) 在 \(\partial D\) 上连续，在 \(D\) 上解析，所以 \(f\) 在 \(\bar{D}\) 上连续，且一致连续（在闭集上连续则一致连续）。所以对于任意的 \(ε>0\)，总存在 \(δ\) 使得对于任何 \(z_{1},z_{2}\) 满足：

\[当~|z_{1}-z_{2}|<δ~时，则~|f(z_{1})-f(z_{2})|<ε \]

 将上式的 \(z_{1},z_{2}\) 代为 \(z\) 和 \(kz\)，那么只需要取 \(δ>(1-k)max\{r(θ)\}\)，则有 \(δ>|z-kz|\)，所以对于任意的 \(ε>0\)，有：

\[\begin{aligned} |I|&=\left| \int_{\partial D}f(z)-f(kz) dz \right| \\ &≤\int_{\partial D}|f(z)-f(kz)| ds \\ &<\int_{\partial D}ε ds \\ &=lε \end{aligned} \]

 其中 \(l\) 为曲线 \(\partial D\) 长度，又因为 \(ε\) 是任意的，所以必有 \(I=0\)。

推广

 如果读者比较细心，能看出上面的定理和推论都是基于一个条件：单连通区域。我们不禁问道，在多连通下，这些定理的样子又是怎样？

 对于柯西基本定理，其对于单连通的要求也只是为了让函数在闭合曲线内部也解析，因为推导中涉及了在这上面的二重积分。所以只要闭合曲线内部依然是解析的，定理就还成立，推论 \(1.1\) 也是如此。
 但对于推论 \(1.2\)，只要区域 \(D\) 多连通，则 \(\partial D\) 内必有不一定解析的地方，所以需要进行一定处理。

 这里区域 \(D\)（灰色）为多连通区域，其边界 \(\partial D\) 由 \(C_{0},C_{1},C_{2},...\) 组成，函数 \(f\) 在 \(D\) 上解析，在 \(\partial D\) 上连续。
 为了使多连通区域与也就有研究过的单连通区域相联系，我们作出两条路径 \(L_{1},L_{2}\)。注意到，这两条路径将 \(\partial D\) 的所有部分都连为了一条：\(C_{0}\) \(→\) \(L_{1}\) \(→\) \(C_{1}\) \(→\) \(L^{-}_{1}\) \(→\) \(L_{2}\) \(→\) \(C_{2}\) \(→\) \(L^{-}_{2}\) \(→\) \(C_{0}\)。若将 \(L_{1},L_{2}\) 从 \(D\) 中除去，那么 \(D\) 就变为了单连通区域，想象将一张有洞的纸剪开使洞与边界相连，变成一张没洞的纸。

 显然，\(f\) 在这个新单连通区域上解析，在其边界上连续，所以可以应用推论 \(1.2\)。又因为 \(L_{1},L_{2}\) 在积分时都正着走了一遍，逆着走了一遍，故为 \(0\)，所以得：

\[\int_{C_{0}}fdz+\int_{C_{1}}fdz+\int_{C_{2}}fdz=0 \]

即：

\[\int_{\partial D}fdz=0 \]

 所以推论 \(1.2\) 在多连通区域上也成立。

（在这里可以看出来，有一些与积分区域有关的性质，本质和积分区域的具体描述无关，更多的和积分区域的一种像连通性这样更深层次的性质有关，这些其实就是拓扑性质）

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 以上是本篇所有内容，主要介绍了柯西基本定理和其一点推论以及向多连通区域的推广。
 写于 2022.5.1 劳动节（自豪后仰）。