實變函數這門課應該是我這學期最為困難的一門課，因此更需要加把勁去學習。
這門課一開始是從定積分的定義出發的，我們知道求曲邊梯形面積一共分為4步：(1)划分區間;(2)對每個小區間$[x_{i-1},x_{i}]$上選定一點$\xi _{i}$計算$f(\xi _{i})$;(3)對每個區間上的小矩形面積求和;(4)令最大的小區間長度趨向於0，如果求和存在極限，那么記為定積分$$\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i}) \bigtriangleup x_{i} = \int_{a}^{b}f(x)dx，其中\lambda = max(|x_{i}-x_{i-1}|)$$。
接着在數學分析中我們已經知道連續函數必然可積，除此之外，還有什么類型的函數可以求定積分呢？考慮下面的函數$$f(x) = \begin{cases} 0 & x \in Q \\ x & x \not \in Q \\ \end{cases}$$
顯然無論$\bigtriangleup x_{i}$多么小均可以找到$\xi _{i} \in Q$或$\xi _{i} \not \in Q$，因此定積分$\int_{a}^{b}f(x)dx$不存在。
基於以上事實，我們需要將現有的黎曼積分推廣，之后我們會看到，當對$y$進行划分時，如果$x$軸上的測度存在，那么我們可以定義Lebesgue積分$$(L) \int_{a}^{b}f(x)dx$$
這門課程的一個大目標是證明這個定理：如果函數$f(x)$黎曼可積，那么它必然Lebesgue可積，並且兩者相等，反之不然。
為了證明該定理，我們引入了一系列新的概念，比如建立了測度，它是長度、面積和體積的推廣。此外還將連續函數推廣為可測函數，利用可測集代替開區間，可以斷言的是，可測集幾乎是開區間，可測函數幾乎是連續函數。
讓我們從集合開始，它是建立測度的基礎。
一、集合的基本運算
集合的基本運算在離散數學課程已經提到過，這里只需要重新回憶起即可。
Def1 (子集、補集、集合的相等)
子集是說對於兩個集合$A$和$B$，如果集合$A$的所有元素都是集合$B$的元素，那么稱$A$是$B$的子集。
補集是說給定全集$U$及它的某個子集$A$，由所有$x \in U$但$x \not \in A$的元素組成集合稱為A的補集，稱為$\overline{A}$或者$A^{C}$
集合的相等是指對於兩個集合$A$和$B$，如果$A \subset B$且$B \subset A$，那么有$A=B$
對於集合的交集、並集，有如下的公式以及De Morgan法則
Thm2 (集合的交並補公式)
(1) $A \bigcap (B \bigcup C) = (A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C)$
(2) $(A \bigcap B) \bigcup C = (A \bigcup C) \bigcap (B \bigcup C)$
Thm3 (De Morgan法則)設$\{ A_{i} \}$為集合列，那么成立如下並集和交集規律
(1) $(\bigcup _{i=1}^{n} A_{i})^{C} = \bigcap _{i=1}^{n} (A_{i})^{C}$
(2) $(\bigcap _{i=1}^{n} A_{i})^{C} = \bigcup _{i=1}^{n} (A_{i})^{C}$
接下來需要對集合引入極限的概念，我們稱之為上極限集和下極限集。
Def4 (上極限集與下極限集)設$\{ A_{n} \}$為一列無窮多個集合
上極限集是指由所有屬於無窮多個$A_{k}$的元素組成的集合，記為$\overline{\lim_{k \to \infty}} A_{k}$
下極限集是指屬於某一項$A_{k}$以后的所有$A_{k}$的元素組成的集合，記為$\underline{\lim_{k \to \infty}} A_{k}$
寫成集合的而形式就是
$$\overline{\lim_{k \to \infty}} A_{k} = \{ \exists 無窮多個k_{j}，使得x \in A_{k_{j}} \}$$
$$\underline{\lim_{k \to \infty}} A_{k} = \{ \exists K，當k > K時，x \in A_{k} \}$$
類似於可積性的內容中達布上和和達布下和一樣，可以給出極限集的定義。
Def5 (極限集)當$\overline{\lim_{k \to \infty}} A_{k} = \underline{\lim_{k \to \infty}} A_{k} $時，稱集合列$A_{k}$有極限，記為$\lim_{k \to \infty} A_{k}$
有了極限集就可以類比數列定義集合列的單調性。
Def6 (單調上升集合列)若$A_{1} \subset A_{2} \subset A_{3} \subset …… \subset A_{n} \subset A_{n+1} \subset ……$
對於這種單調集合列，也有同樣的定理。
Thm7 單調集合列一定有極限集。
下面給出兩個上下極限的例子。
Exm1：設$A_{2n-1} = [1,3]$，$A_{2n} = [2,4]$，求這個集合列的上下極限
解：因為$[1,3] \subset \overline{\lim_{n \to \infty}} A_{n}$，$[2,4] \subset \underline{\lim_{n \to \infty}} A_{n}$，於是$\overline{\lim_{n \to \infty}} A_{n} = [1,4]$，$\underline{\lim_{n \to \infty}} A_{n} = [2,3]$
Exm2:設$A_{n} = [0,3+\frac{1}{n}]，求$\overline{\lim_{n \to \infty}} A_{n}$
解：$\overline{\lim_{n \to \infty}} A_{n} = [0,3]$，$\underline{\lim_{n \to \infty}} A_{n} = [0,3]$，所以$\\lim_{n \to \infty} A_{n} = [0,3]$
二、集合的基數
我們知道，對於有限集來說，可以直接進行計數數出集合中元素的個數，但是對於無限集來說就沒有辦法通過計數的方式確定集合中元素的個數，比如有理數集和整數集哪個元素更多。
為了解決這個問題，離散數學中我們已經引入了對等的概念，這是指兩個集合之間存在着一一對應關系。
在有限集中，一個集合永遠不可能和它的真子集對等，但在無窮集中，這種事情是可能的。
Thm3：若$A_{1}$與$B_{1}$對等，$A_{2}$與$B_{2}$對等，且$A_{1} \bigcap A_{2} = \varnothing$，$B_{1} \bigcap B_{2} = \varnothing$，那么有$A_{1} \bigcup A_{2}$與$B_{1} \bigcup B_{2}$對等。
下面重點是研究怎么證明兩個集合對等，根據定義，我們需要找到聯系這兩個集合的一個雙射，這在通常情況下是非常困難的，幸運的是，Bernstein定理告訴我們，只需要找到兩個方向分別的一個單射，那么這兩個集合的雙射一定存在，從而可以證明集合對等。
Thm4(Bernstein定理)：設$X,Y$是兩個不同集合，若集合$X$與$Y$的一個真子集對等，同時$Y$與$X$一個真子集對等，那么$X,Y$對等。
證明過程較長，在此先略過。
下面給出如何利用Bernstein定理解題的例子。
Exm5
(1) 證明[0,1]和(0,1)是對等的。
解：取$f(x)=\frac{1+x}{4}，它是從[0,1]到(0,1)的單射，說明[0,1]與(0,1)中某個真子集對等，取$g(x)=x$，它是從(0,1)到[0,1]的單射，說明(0,1)與[0,1]中某個真子集對等，由Bernstein定理就可以知道[0,1]與(0,1)對等。
(2) 設$A \subset B \subset C$，若$A$與$C$對等，試證明$C$與$B$對等。
解：$A$與$C$對等，由$A \subset B$，說明$C$與$B$的子集對等，接下來還要找一個$C$的子集，使得$B$與這個子集對等，那么顯然$B$與自己對等，於是有$B$與$C$對等。
(3) 證明無窮集A一定可以與它的某個真子集對等。
解：由於$A$是無窮集，因此$A \neq \varnothing$，那么就有$\exists x_{1} \in A$，記$A_{1} = A | \{ x_{1} \} $，那么$A_{1}$還是無窮集，$A_{1} \neq \varnothing$，從而$\exists x_{2} \in A_{1}$，記$A_{2} = A | \{ x_{1}，x_{2} \} $。依次類推，這樣子我們可以得到一個數列$x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n},…$，由它組成的集合$S$就是$A$的子集，記映射$$f：A \longrightarrow B，f(x) = \begin{cases} x_{n+1} & 當x=x_{n} \\ x & 其它 \end{cases} $$這是一個從$A$到$S$的雙射，於是有$A$和$S$對等。
現在，我們記$\overset{=}{A}$為$A$的基數，需要提出的一個問題是，任給兩個不同集合，它們的基數有沒有大小關系？對此的回答是，在選擇公理的條件下，一定會有$\overset{=}{A} \leq \overset{=}{B}$或者$\overset{=}{A} \geq \overset{=}{B}$。進而會思考的一個問題是，對於無窮集，什么是最小的基數？對此，我們引入可列集相關的概念。
Def6 (可列集與可數集)若集合A與自然數集N對等，則稱A為可列集，此外將有限集和可列集統稱為可數集。我們將可列集的基數記為$\aleph _{0}$
下面給出一些可列集的性質。
Thm7 (可列集的性質)
(1) 設$A$為無窮集，那么有$\overset{=}{A} \geq \aleph_{0}$
(2) 可列集的無窮子集也一定是可列集
(3) 兩個可列集的並是可列集，進一步地，可列個可列集的並集也是可列集。
(4) 設$A$和$B$都是可列集，那么$A × B$也是可列集。
依次證明它們。
(1)證：由於$A$是無窮集，因此$A \neq \varnothing$，那么就有$\exists x_{1} \in A$，記$A_{1} = A | \{ x_{1} \} $，那么$A_{1}$還是無窮集，$A_{1} \neq \varnothing$，從而$\exists x_{2} \in A_{1}$，記$A_{2} = A | \{ x_{1}，x_{2} \} $。依次類推，這樣子我們可以得到一個數列$x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n},…$，由它組成的集合$S$就是$A$的子集，因為$\overset{=}{S} = \aleph _{0}$，故$\overset{=}{A} \geq \aleph _{0}$
(2)證：設有可列集$A = \{ x_{1} , x_{2} , x_{3} , … , x_{n} , …\}$，取其子集$B$，記為$B = \{ x_{k_{1}} ,x_{k_{2}} , x_{k_{3}} , … , x_{k_{n}} , …\}$，顯然我們能夠列出$B$，因此它為可列集。
(3)證：記$A = \{ a_{1} , a_{2} , a_{3} , … , a_{n} , …\}$，$B = \{ b_{1} , b_{2} , b_{3} , … , b_{n} , …\}$，如果$A \bigcap B = \varnothing$，則有$A \bigcup B = \{ a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},…,a_{n},b_{n},…\}$，那么$A \bigcup B$是可列集。如果$A \bigcup B \neq \varnothing$，那么前面出現過的就排除掉，整個集合依然是可列的。接下來，把可列個可列集的元素以矩陣的形式寫出來，每一行是一個集合的元素，接着用類似主子式的形式將所有元素排列出來，這說明這些元素組成的集合可列，因此為可列集。
(4)證：$A × B$是指笛卡爾積，同樣地，記$A = \{ a_{1} , a_{2} , a_{3} , … , a_{n} , …\}$，$B = \{ b_{1} , b_{2} , b_{3} , … , b_{n} , …\}$，那么可以將笛卡爾積寫成
$$(a_{1},b_{1})，(a_{1},b_{2})，(a_{1},b_{3})，…… ，(a_{1},b_{n})，……$$
$$(a_{2},b_{1})，(a_{2},b_{2})，(a_{2},b_{3})，…… ，(a_{2},b_{n})，……$$
$$……$$
$$(a_{n},b_{1})，(a_{n},b_{2})，(a_{n},b_{3})，…… ，(a_{n},b_{n})，……$$
$$……$$
然后寫成$(a_{1},b_{1})，(a_{1},b_{2})，(a_{2},b_{1})，(a_{1},b_{3})，(a_{2},b_{2})，(a_{3},b_{1})，……，$，從而可列。
在進一步討論區間的問題之前，我們還需要指出，有不可列集嗎？答案是肯定的，下面我們來考慮實數區間$[0,1]$
Thm8 (不可列集)證明實數區間$[0,1]$是不可列的。
證明：這里是康托爾給出的證明，反設$[0,1]$是可列的，那么可以寫為$\{ a_{1} , a_{2} , a_{3} ,… ,a_{n}$，我們將每個元素都寫成無限小數的形式，如下：
$$a_{1} = 0.a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}……a_{1n}……$$
$$a_{2} = 0.a_{21}a_{22}a_{23}a_{24}……a_{2n}……$$
$$……$$
$$a_{n} = 0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}a_{n4}……a_{nn}……$$
$$……$$
進而考慮這樣子的一個數$b=0.b_{1}b_{2}b_{3}……b_{n}……$，其中對於每一個$b_{i}$滿足$$b_{i} = \begin{cases} 1, & \quad 若a_{ii} \neq 1 \\ 2, & \quad 若a_{ii} = 1 \\ \end{cases}$$那么，$b \neq a_{i}，\forall i \in N$，但是又有$b \in [0,1]$，這就矛盾了，說明[0,1]不可列，更進一步說明了實數集不可列。
第1周課程本來還討論了一點開區間上只有可列個間斷點的性質問題，不過我認為那部分會在第2周課程中進一步討論，而且第1周課程中還差一個連續統基數沒有討論，因此我決定將兩部分內容互換，第2周課程中補充上本周已講的內容，本周課程中補充上連續統基數部分內容才算真正結束。