【實變函數】證明（一）

證明1

1-1

若\(E\)是開集，則\(E^c\)是閉集。

設\(\{x_k\}\in E^c\)使得\(x_k\to y\)。若\(y\in E\)，則因\(E\)是開集，存在某\(B_r(y)\subset E\)，從而有\(x_k\in B_r(y)\)，這與\(x_k\in E^c\)矛盾。

1-2

Cantor集是完全不連通的完備集。

由Cantor集的構造，我們知道對於\(C_k\)，其每一個小區間的長度小於\(\dfrac{1}{3^k}\)。

不連通性：對任何\(x<y\in E\)，它們之間的距離為\(d(x,y)>0\)，故必定存在某\(k\)，使得\(d(x,y)>\dfrac{1}{3^k}\)，也就是說\([x,y]\nsubseteq C_k\)，自然存在某\(z\in [x,y]\)使得\(z\notin C_k\)，於是\(z\notin C\)。

沒有孤立點：對任何\(x\in E\)，我們知道它必然存在於某個閉區間列中，而由Cantor集的構造過程，我們知道在第\(k\)步保留的閉區間某側的\(\dfrac{1}{3^{k-1}}\)距離以內，必存在另一個與之相對稱的閉區間。現對任何\(\delta>0\)，必定存在某個\(k\)使\(\delta>\dfrac{1}{3^{k-1}}\)，因此在第\(k\)步中分划出兩個閉區間套，其中一個最終包含\(x\)，另一個將最終包含另一個\(y\in E\)，而\(d(x,y)<\dfrac{1}{3^{k-1}}<\delta\)。

1-3

\(\mathbb{R}^2\)上的開圓盤不能表示為開矩形的不交並。

設開圓盤為\(O\)，有開矩形列\(G_k\)使得\(\displaystyle{O=\bigcup_{k=1}^{\infty}G_k}\)。顯然\(G_1\ne O\)，因此必定存在一個點\(x\in O\)，使得\(\forall \delta>0\)，有\(B_{\delta}(x)\cap G_1\ne \varnothing\)。這樣由於\(G_k\)兩兩不交，\(x\)將不能夠包含在其他的開集\(G_k\)中。

1-4

若\(f(x)\)是定義在開集\(G\subset \mathbb{R}^n\)上的實值函數，則\(f\)的連續點集是\(G_{\delta}\)集。

引入\(f\)在\(x\)的振幅為\(\omega_f(x)\)，即

\[\omega_f(x)=\lim_{h\to 0}\left(\sup_{B_h(x)}f-\inf_{B_h(x)}f \right), \]

則\(f\)在\(x\)處連續等價於\(\omega_f(x)=0\)，故連續點集為

\[\bigcap_{k=1}^{\infty}\left\{x\in G:\omega_f(x)<\frac{1}{k}\right\}. \]

事實上每一個這樣的集合都是開集，所以連續點集是\(G_{\delta}\)集。

1-5

若\(f\)是\(\mathbb{R}\)上的連續函數，則\(f\)的可微點集是\(F_{\sigma\delta}\)集（可數個\(F_{\sigma}\)集的交）。

令

\[A=\left\{a:\varliminf_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<\varlimsup_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \right\},\\ B=\left\{a:\varlimsup_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\infty \right\},\\ C=\left\{a:\varliminf_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=-\infty \right\}. \]

則\(A\cup B\cup C\)為不可微點集。令\(\mathbb{Q}\)是\(\mathbb{R}\)中的有理數集，則

\[A=\bigcup_{r,R\in\mathbb{Q},R>r}\left(\left\{a:\varliminf_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le r \right\}\bigcap\left\{a:\varlimsup_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge R \right\} \right),\\ B=\bigcap_{r\in\mathbb{Q}}\left\{a:\varlimsup_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge R \right\},\\ C=\bigcap_{r\in\mathbb{Q}}\left\{a:\varliminf_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le r \right\}. \]

而

\[\left\{a:\varliminf_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le r \right\}=\bigcap_{n,k=1}^{\infty}\left\{a:\exists x\in B^{\circ}_{1/n}(a),\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<r-\frac{1}{k} \right\},\\ \left\{a:\varliminf_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge R \right\}=\bigcap_{n,k=1}^{\infty}\left\{a:\exists x\in B^{\circ}_{1/n}(a),\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>R-\frac{1}{k} \right\}, \]

由\(f\)的連續性，最后的集合是開集，從而不可微點集是可數個\(G_{\delta}\)集的並，可微點集就是可數個\(F_{\sigma}\)集的交。

1-6

設\(E\subset \mathbb{R}^n\)，證明以下兩個結論等價：

1. \((\overline{E})^{\circ}=\varnothing\)。
2. 對\(\mathbb{R}^n\)的任何一個非空開子集\(G\)，存在\(x\in G\)以及\(\varepsilon>0\)使得\(B_{x}(\varepsilon)\)中不含\(E\)的點。

\(1\to 2\)：

若\(E\)的閉包不含內點，則對\(\mathbb{R}^n\)的任何一個非空開子集\(G\)，\(G-\overline{E}\ne \varnothing\)，否則\(G\subset\overline{E}\)，而\(G\)有內點，這與\(\overline{E}\)無內點相矛盾。而\(G\)是開集，\(\overline{E}\)是閉集，故\(U=G-\overline{E}\)是開集，存在某個\(x_0\in U\)和\(\varepsilon_0\)，使得\(B_{\varepsilon_0}(x_0)\subset U\)，而\(U\)中不含\(\overline{E}\)的點，即\(B_{\varepsilon_0}(x_0)\)中不含\(E\)的點。

\(2\to 1\)：

用反證法，假設\(\overline{E}\)有內點，即包含了某個開球\(B(x,\varepsilon)\)，則\(B(x,\varepsilon)\)中一定含有\(E\)的點，否則\(x\)不是\(E\)的極限點，也即\(x\notin E,x\notin E'\)。這與我們的假設矛盾。

1-7

設\(\{G_k\}\)是\(\mathbb{R}^n\)中的稠密開集列，則\(\displaystyle{G_0=\bigcup_{k=1}^{\infty}G_k}\)在\(\mathbb{R}^n\)中稠密。

只需指出對\(\mathbb{R}^n\)中任一閉球\(\overline{B}=\overline{B_{\delta}(x)}\)，均有\(G_0\cap \overline{B}\ne \varnothing\)。假設存在某閉球\(\overline{B_0}=\overline{B_{\delta_0}(x_0)}\)，使得\(G_0\cap \overline{B_0}=\varnothing\)，則

\[\mathbb{R}^n=(G_0\cap \overline{B_0})^c=G_0^c\cup(\overline{B}_0)^c,\\ \overline{B_0}=\mathbb{R}^n\cap \overline{B_0}=\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}G_k \right)^c\cap \overline{B_0}=\bigcup_{k=1}^{\infty}(G_k^c\cap \overline{B_0}). \]

注意到\(G_k^c\)是無內點的閉集，所以由Baire定理，\(\overline{B_0}\)也是無內點的閉集，這顯然是矛盾的。