【實變函數】2. 測度理論
本文對測度理論進行介紹，這一部分是勒貝格積分的基礎，承上啟下。文中所提到的證明點此查看。
1. 外測度
對於規則矩體，我們很容易定義它們的體積；而\(\mathbb{R}^n\)中的不規則形狀，體積定義則相對困難。外測度給出了一種定義\(\mathbb{R}^n\)中任意集合的“體積”的方式，這種“體積”被稱為外測度。
- 外測度：若\(E\)是\(\mathbb{R}^n\)的任何子集，則\(E\)的外測度是
\[m^*(E)=\inf\sum_{j=1}^{\infty}|Q_j|, \]其中下確界對所有覆蓋\(\displaystyle{E\subset \bigcup_{j=1}^{\infty}Q_j}\)的可數個開方體取值，有\(0\le m^*(E)\le \infty\)。
為了對外測度這一定義加以使用，必須看到它與體積的類似之處。如（證明2-1）
- 單點集的外測度為\(0\)。
- 矩體的外測度等於它的體積，無論是開方體還是閉方體。
對於外測度，最重要的是它的性質，以下羅列出它的幾個性質。
- 單調性：若\(E_1\subset E_2\)，則\(m^*(E_1)\subset m^*(E_2)\)。
- 可數次可加性：若\(\displaystyle{E=\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j}\)，則\(m^*(E)\le \displaystyle{\sum_{j=1}^{\infty}m^*(E_j)}\)。注意外測度只有次可加性，而沒有嚴格的可列可加性，這一點由以后不可測集的構造就可以看出。
- 等價定義：\(m^*(E)=\inf m^*(O)\)，這里\(O\)是包含\(E\)的開集。
- 可分離可加性：若\(E=E_1\cup E_2\)且\(d(E_1,E_2)>0\)，則\(m^*(E)=m^*(E_1)+m^*(E_2)\)。
- 平移不變性：記\(E+x_0:=\{x+x_0:x\in E\}\)，則\(m^*(E)=m^*(E+x_0)\)。
2. 可測集
我們說外測度具有可數次可加性，但我們希望它擁有可列可加性，為了滿足這個條件，將不滿足可列可加性的這些集合去掉，剩下的集合就具有可列可加性，我們稱這些集合為可測集。對於可測集，我們稱其外測度為測度，記作\(m(E)=m^*(E)\)。
一種較為復雜的定義方式是利用卡氏條件定義，此外，還有一些簡單的定義方式，羅列如下。
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卡氏條件：設\(E\subset \mathbb{R}^n\)，若對任意的點集\(T\subset \mathbb{R}^n\)，有
\[m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c), \]就稱\(E\)為可測集。
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開集：設\(E\subset \mathbb{R}^n\)，若對任意\(\varepsilon>0\)，存在開集\(G\supset E\)使得\(m^*(G-E)<\varepsilon\)，則\(E\)是可測集。
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閉集：設\(E\subset \mathbb{R}^n\)，若對任意\(\varepsilon>0\)，存在閉集\(F\subset E\)使得\(m^*(E-F)<\varepsilon\)，則\(E\)是可測集。
以上三個定義是相互等價的（證明2-2），但是對定義等價性的證明，要用到可測集的相關性質，這些性質都可以由可測集的定義推出。首先，我們引入可測集是因為希望它滿足可列可加性，那么它至少滿足有限可加性，我們可以給出如下的較強結論：
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測度的有限可加性：若兩個集合關於一個可測集可分，即存在可測集\(S\)使得\(E_1\subset S\)，\(E_2\subset S^c\)，則
\[m^*(E_1\cup E_2)=m^*(E_1)+m^*(E_2), \]這是因為
\[m^*(E_1\cup E_2)=m^*((E_1\cup E_2)\cap S)+m^*((E_1\cup E_2)\cap S^c)=m^*(E_1)+m^*(E_2). \]這樣，如果\(E_1,E_2\)本身是可測集，自然滿足有限可加性。
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測度的可列可加性：首先要知道集合的可列並仍是可測集（證明2-3），於是就有
\[m\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i \right)=\sum_{i=1}^{\infty}m(E_i). \]這里\(E_i\)是互不相交的可測集。
接下來給出可測集的一些性質。
首先是關於“什么集合是可測的”的相關結論，其中燒難的是\(E_1\cup E_2\)可測。（證明2-3）
- 零測集是可測集。
- 若\(E\)是可測集，則\(E^c\)是可測集。
- 若\(E_1,E_2\)是可測集，則\(E_1\cup E_2\)，\(E_1\cap E_2\)，\(E_1-E_2\)都是可測集。可測集的可列並、可列交是可測集。
- 開集與閉集是可測集，所有Borel集合都是可測集。
我們證明了可測集列的極限仍然是可測集，那么可測集列極限的測度就是不可避免的問題，好在許多情況下，可測集列的極限的測度，就是可測集列測度的極限。以下是關於可測集的極限列的測度關系（證明2-4）。
-
若有遞增可測集列\(E_1\subset E_2\subset \cdots\subset E_k\subset \cdots\)，則
\[m^*\left(\lim_{k\to \infty}E_k \right)=\lim_{k\to \infty}m(E_k). \] -
若有遞減可測集列\(E_1\supset E_2\supset \cdots\supset E_k\supset \cdots\)，且\(m(E_1)<\infty\)，則
\[m^*\left(\lim_{k\to \infty}E_k \right)=\lim_{k\to \infty}m(E_k). \]這里集合測度有限的條件不可缺少。如果對每一個\(k\)，\(m(E_k)=\infty\)，則其極限的測度可能為\(0\)，可能為\(\infty\)，也可能為任意常數。
-
若有可測集列\(\{E_k\}\)使得\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}m(E_k)<\infty}\)，則\(\displaystyle{m\left(\varlimsup_{k\to \infty}E_k \right)=0}\)。利用此性質，有時可以構造出一列\(E_k\)，使它們的測度之和有限（往往用於證明小測度性質）。
前面我們證明了所有Borel集都是可測集，但是否所有可測集都是Borel集？實際上存在非Borel集的可測集，但是我們可以證明可測集與Borel集之間僅差一個零測集。我們有以下的定理，證明略。
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\(G_{\delta}\)集：設\(E\subset \mathbb{R}^n\)是可測集，則存在\(G_{\delta}\)集\(H\supset E\)使得\(m^*(H-E)=0\)，
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\(F_{\sigma}\)集：設\(E\subset \mathbb{R}^n\)是可測集，則存在\(F_{\sigma}\)集\(K\subset E\)使得\(m^*(E-K)=0\)。
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開集與閉集：設\(E\subset \mathbb{R}^n\)是可測集，則存在可測集\(F\)和\(G\)使\(F\subset E\subset G\)，且\(m(G-F)<\varepsilon\)。常取\(G\)為開集，\(F\)為閉集。
3. 正測度集
正測度集與零測集相比，由於集合的點要占據集合中一定的體積，因此它必然有一大堆點聚集在集合的某一范圍內，而占據着某個覆蓋矩體的大部分地區，這意味着正測度集和矩體之間存在一定聯系。以下定理證明，對任何縮小因子\(\lambda\)，總能存在某個矩體，它的測度被縮小后，要小於這個矩體內集合的測度。
- 定理：設\(m(E)>0\)，對任何\(\lambda\in (0,1)\)，存在矩體\(I\)使得\(\lambda |I|<m(I\cap E)\)。
如何找到這樣的矩體？我們應當從其\(L-\)覆蓋找，可以找到一列\(L-\)覆蓋使得\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}|I_k|<\frac{1}{\lambda}m(E)}\)，因為要證明即使\(\lambda\)再接近\(1\)，都能找到這樣的矩體，所以我們在尋找開覆蓋時，應尋找測度僅比\(m(E)\)大一點的開覆蓋。下一步就是用\(L-\)覆蓋分划集合\(E\)，也就有
這樣，至少有一個\(I_k\)使得\(\lambda|I_k|<m(I_k\cap E)\)，這就證明了所需的結論。
由這個結論，我們可以給出下面的定理，它表明向量差集必定包含原點的某個鄰域：
- 定理：設\(E\)是\(\mathbb{R}^n\)中的正測度集，記\(E-E=\{x-y:x,y\in E\}\)，則存在\(\delta_0>0\)，使得
\[E-E\supset B(0,\delta_0). \]
這個定理可以作為柯西函數方程的基礎。（證明2-6）
- 定理：若函數\(f\)定義在\(\mathbb{R}\)上，滿足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且在\(\mathbb{R}\)的某個正測度子集\(E\)（\(m(E)>0\)）上有界，則必有\(f(x)=cf(1)\)。
現在我們來討論Cantor集的測度性質。我們已經知道Cantor集具有連續統勢，但同時，它也是一個零測集，只需注意到每一步去掉的\(2^{k-1}\)個區間長度為\(\dfrac{1}{3^{k}}\)，於是Cantor集被去掉開區間的測度為
Cantor集是一個神奇的例子，它給出了\([0,1]\)上一個完備集（沒有孤立點的閉集），無處稠密且具有連續統勢，但其測度為\(0\)。現在我們要介紹類Cantor集，它同樣是具有連續統勢、無處稠密的完備點集，但與Cantor集不同的是，它可以擁有\((0,1)\)上的任何測度值\(a\)，不妨記這樣的集合為\(C^{a}\)。如何構造這樣的類Cantor集？
我們不妨先思考如何構造完備集，尤指\(\mathbb{R}\)上的完備集。注意到\(\mathbb{R}\)上的完備集\(P\)是沒有孤立點的閉集，從而\(P^c\subset \mathbb{R}\)必定是開集，而\(\mathbb{R}\)上的開集特殊之處就在於，它是由構成區間組成的，也就是說\(P^c\)實際上是一列不交開區間的並。接下來考慮孤立點，為使\(P\)沒有孤立點，只需要這些開區間沒有公共端點即可。綜上，我們知道，為構造完備集，可以從閉區間開始，每次去掉閉區間中間的某個開區間，對剩下的閉區間執行同樣的步驟，得到的集都是完備集。事實上有如下定理：\(\mathbb{R}\)上的非空完備集具有連續統勢。
現在轉向類Cantor集構造。在構造Cantor集中，每次去掉的是區間正中的\(\dfrac{1}{3}\)，想要構造測度為\(a\in(0,1)\)的完備集，只要將去掉的部分由原區間的\(\dfrac{1}{3}\)改為\(\dfrac{1-a}{3}\)即可，根據之前的分析，去掉的區間測度和為\(1-a\)，所以剩下的集合測度為\(a\)。事實上，我們可以從\(\mathbb{R}\)上任何一個測度為\(M\)的區間出發，最終得到一個測度為\(\lambda M(0\le \lambda< 1)\)的完備集，此完備集無處稠密。
有了這個結論，我們可以證明以下命題（證明2-7）：
- 存在\([0,1]\)中的可測集\(E\)，使得對\([0,1]\)中的任一開區間\(I\)，有
\[0<m(E\cap I)<m(I). \]
4. 不可測集
對不可測集，我們只要知道任何正測度集中均含不可測子集即可。具體的構造需要用到選擇公理，接下來構造衣個不可測集。
設\(\mathbb{Q}^{n}\)是\(\mathbb{R}^n\)中的有理點集，對\(\mathbb{R}^n\)中的點\(x,y\)，若\(x-y\in \mathbb{Q}^n\)，則記\(x\sim y\)，這是一個等價關系，將\(\mathbb{R}^n\)划分成若干個互達等價類。根據選擇公理，在這每一類中僅取出一元，構造點集\(W\)，這個\(W\)是不可測集。要證明\(W\)不可測，只需證明它不滿足可測集的測度可加性即可。
假設\(m(W)>0\)，則存在球\(B(0,\delta)\)使\(B\subset W-W\)，所以存在\(x\in (W-W)\cap \mathbb{Q}^n\)且\(x\notin 0\)，那么\(x\sim 0\)，這與\(W\)的構造矛盾。
假設\(m(W)=0\)，那么\(\displaystyle{\mathbb{R}^n=\bigcup_{k=1}^{\infty}\{W+r_k\}}\)，這里\(\{r_k\}_{k\ge 1}=\mathbb{Q}^n\)。由\(W\)的構造，這些\(\{W+r_k\}\)必兩兩不交，從而由測度的可列可加性，有\(m(\mathbb{R}^n)=0\)的矛盾。