【實變函數】一、基礎知識

【實變函數】1. 預備知識

本文的復習內容是實變函數的基礎，即關於集合、集合運算、集合的勢、集合的結構等基本問題。文中所提到的證明點此查看。

目錄

• 【實變函數】1. 預備知識
  • 1. 開集與閉集
  • 2. $F_{\sigma}$集和$G_{\delta}$集
  • 3. 部分定理

1. 開集與閉集

集合的結構是我們日后最經常接觸到的的問題，開集、閉集是兩種常用的集合結構。

• 開球：\(\mathbb{R}^n\)中以\(x\)為中心，\(r\)為半徑的開球定義為

  \[B_{r}(x)=\{y\in\mathbb{R}^n:|y-x|<r\}. \]

• 開集：對\(\mathbb{R}^n\)中的子集\(E\)，若對每個\(x\in E\)，存在\(r>0\)使得\(B_{r}(x)\subset E\)，則\(E\)為開集。

• 閉集：對\(\mathbb{R}^n\)中的子集\(E\)，若\(E\)包含\(E\)的一切極限點，即\(E\supset E'\)，則\(E\)為閉集。

這里，\(E'\)為集合的導集，即\(E\)的一切極限點構成的集合。所謂極限點，它是與孤立點相反的概念，即如果存在\(E\)中的互異點列\(\{x_k\}\)使得\(\displaystyle{\lim_{k\to \infty}|x_k-x|=0}\)，則\(x\)稱為\(E\)的極限點（記作\(x\in E'\)）。反之，如果存在某\(\delta>0\)使得\(B_\delta(x)\)內沒有\(E\)的其他點，則稱\(x\)為\(E\)的孤立點。由上述定義可以知道，對於集合\(E\)，它的點或為孤立點，或為極限點。

關於極限點，有如下的\(\mathbb{R}^n\)中的Bolzano-Weierstrass定理：

• \(\mathbb{R}^n\)中任一有界無限點集\(E\)至少有一個極限點。

這里，有界集指的是集合\(E\)含於某個半徑有限的球。

由前述定義，我們可以知道若\(E\)是開集，則\(E^c\)是閉集（證明1-1）。

緊集是一種特殊的閉集，它相比於一般閉集，是有界的。而正是其有界性，賦予了其Heine-Borel覆蓋性質。下面我們將給出兩個重要定理：

• Cantor閉集套定理：若\(\{F_k\}\)是\(\mathbb{R}^n\)中的非空有界閉集列，且滿足\(F_k\supset F_{k+1}\)，則

  \[\bigcap_{k=1}^{\infty}F_k\ne \varnothing. \]

• Heine-Borel有限子覆蓋定理：\(\mathbb{R}^n\)中有界閉集的任一開覆蓋均含有一個有限子覆蓋。

完備集指的是不含任何孤立點的閉集。我們知道，一個集合是閉集當且僅當它包含它的所有極限點，再結合其沒有孤立點的性質，可知完備集指的是滿足\(E=E'\)的集合\(E\)。

• 完備集：不含任何孤立點的閉集。

有一種奇特的完備集是Cantor完備集，為了構造Cantor集，先提出以下基本定理：

• 一族開集的並是開集，有限個開集的交是開集。
• 一族閉集的交是閉集，有限個閉集的並是閉集。

現在來構造Cantor集，其構造方式如下：

從單位閉區間\(C_0=[0,1]\)開始，令\(C_1\)為從\([0,1]\)去掉中間\(1/3\)的開集后余下的部分，即

\[C_1=[0,1/3]\cup [2/3,1]. \]

接着，對\(C_1\)的每個子區間重復該過程，得到\(C_2\)，即

\[C_2=[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup[2/3,7/9]\cup[8/9,1]. \]

重復此流程，得到緊集序列\(C_1\supset C_2\supset C_3\supset\cdots\)，取這些所有\(C_k\)的交，就構成Cantor集。

\[C=\bigcap_{k=1}^{\infty}C_k. \]

由Cantor閉集套定理可知\(C\)非空，但是，它還是完全不連通的完備集。（證明1-2）

而對於開集，它們總有特殊的結構，這些結構為我們后續的討論提供了便利。以下定理中，幾乎不交指的是僅邊界相交。

• \(\mathbb{R}\)中的每個開集\(G\)可唯一地寫成可數個不相交的開區間的並。（這個結論對於高維空間不成立，證明1-3）
• \(\mathbb{R}^{n}(n\ge 1)\)中的每個開集\(G\)可唯一地寫為可數個幾乎不交的閉方體的並。

最后，關於\(\mathbb{R}^n\)中集合的結構，我們需要指出以下概念。設\(E\subset \mathbb{R}^n\)。

• 內點：存在\(\delta>0\)，使\(B_{\delta}(x)\subset E\)，則\(x\)稱為\(E\)的內點。
• 內核：\(E\)的全體內點構成的集合，記作\(E^{\circ}\)。
• 邊界點：若\(x\in E'\)但\(x\notin E^{\circ}\)，即對任何\(\delta>0\)，\(B_{\delta}(x)\)都與\(E\)相交但不完全包含在\(E\)中，則\(x\)稱為\(E\)的邊界點。
• 邊界：\(E\)的全體邊界點構成的集合，記作\(\partial E\)。
• 閉包：\(E\)的全體點及其極限點構成的集合，記作\(\overline{E}\)，即\(\overline{E}=E\cup E'\)。

2. \(F_{\sigma}\)集和\(G_{\delta}\)集

我們前面提到，可數個閉集的並不一定是閉集，可數個開集的交也不一定是開集。為了刻畫這兩種特殊的集，我們以下將提出\(F_{\sigma}\)集與\(G_{\delta}\)集的概念。

• \(F_{\sigma}\)集：可數個閉集的並是\(F_{\sigma}\)型集。
• \(G_{\delta}\)集：可數個開集的交是\(G_{\delta}\)型集。

由定義，\(F_{\sigma}\)集的補集是\(G_{\delta}\)集，反之也成立。很容易舉出例子以證明\(F_{\sigma}\)集不一定是閉集，\(G_{\delta}\)集不一定是開集。如有理數集\(\mathbb{Q}\)就是\(F_{\sigma}\)集（但不是閉集，因為\(\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\)），相反無理數集\(\mathbb{R}-\mathbb{Q}\)就是\(G_{\delta}\)集。

作為\(F_{\sigma}\)集和\(G_{\delta}\)集的應用，它們常用於描述函數的性質，如實函數的連續點是\(G_{\delta}\)集。（證明1-4，1-5）

介紹\(F_{\sigma}\)集與\(G_{\delta}\)集主要是為了介紹集合的疏密性，為此，我們給出\(\mathbb{R}^n\)中稠集與疏集的概念。

• 稠密集：若\(\overline{E}=\mathbb{R}^n\)，則\(E\)稱為\(\mathbb{R}^n\)中的稠密集。（顯然，疏朗集沒有內點）
• 無處稠密集（疏朗集）：若\((\overline{E})^{\circ}=\varnothing\)，則\(E\)稱為\(\mathbb{R}^n\)中的無處稠密集。此定義等價於\(E\)不在\(\mathbb{R}^n\)的任何一個非空開子集中稠密。（證明1-6）
• 第一綱集：可數個疏朗集的並稱為第一綱集。
• 第二綱集：不是第一綱的集合稱為第二綱集。

Baire定理是用於描述\(F_{\sigma}\)集與其結構集的關系的定理。

• Baire定理：設\(E\subset \mathbb{R}^n\)是\(F_{\sigma}\)集，有\(E=\displaystyle{\bigcup_{k=1}^{\infty}F_k}\)。若每個\(F_k\)均無內點，則\(E\)也無內點。

由Baire定理容易證明，區間是第二綱集。還可以證明：\(\mathbb{R}^n\)中可列個稠密開集列的交仍是稠密的（證明1-7）。

3. 部分定理

這一部分，給出有關集合的一些重要定理。

• \((A^{c})^{\circ}=(\overline{A})^{c}\)，\(\overline{A^c}=(A^{\circ})^{c}\)。

• \(\mathbb{R}^{n}\)中任一集的導集是閉集。

• 對\(\mathbb{R}^n\)上的連續函數\(f\)，\(\{x:f(x)\ge t\}\)和\(\{x:f(x)\le t\}\)都是閉集。

• \(\mathbb{R}^n\)中閉集是可列個開集的交，開集是可列的閉集的並。

• \(\mathbb{R}\)中可列個稠密開集的交是一個稠密集。

• \(E\)是疏朗集\(\Leftrightarrow(\overline{E})^c\)是稠密集。

• \(\mathbb{R}^n\)開集\(G\)上的實值函數，連續點集是\(G_{\delta}\)集。

• \(\mathbb{R}\)上連續函數\(f\)的可導點集為\(F_{\sigma\delta}\)集。

• 設\(F_1,F_2\)為兩非空有界閉集，且\(F_1\cap F_2=\varnothing\)，則\(d(F_1,F_2)>0\)。

• 若\(F_1,F_2\)是\(\mathbb{R}^n\)中的閉集且\(F_1\cap F_2=\varnothing\)，則存在開集\(G_1\supset F_1\)，\(G_2\supset F_2\)使\(G_1\cap G_2=\varnothing\)。

• 對不交非空閉集\(F_1,F_2\)，存在\(\mathbb{R}^n\)上的連續函數\(f\)，使\(f(F_1)=0\)，\(f(F_2)=1\)，且\(f(x)\le 1\)。這樣的函數是

  \[f(x)=\frac{d(x,F_1)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}. \]

盡管沒有在前面專門討論映射與集合運算，不過也有一些關於映射與集合運算的定理。

• \(\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n-\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}(A_n-B_n)}\)，\(\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty}(A-A_n)=A-\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}\)。
• \(\displaystyle{f\left(\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha} \right)=\bigcup_{\alpha\in I}f(A_{\alpha})}\)，\(\displaystyle{f\left(\bigcap_{\alpha\in I}A_{\alpha} \right)\subset \bigcap_{\alpha\in I}f(A_\alpha)}\)。
• \(\displaystyle{f^{-1}\left(\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha} \right)=\bigcup_{\alpha\in I}f^{-1}(A_{\alpha})}\)，\(\displaystyle{f^{-1}\left(\bigcap_{\alpha\in I}A_{\alpha} \right)=\bigcap_{\alpha\in I}f^{-1}(A_\alpha)}\)，\(f^{-1}(B^c)=(f^{-1}(b))^c\)。
• 若\(A\subset B\)，則\(f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B)\)。
• 若\(X\)與\(Y\)的某個真子集對等，\(Y\)與\(X\)的某個真子集對等，則\(X\sim Y\)。