證明2
2-1
單點的外測度為\(0\)，矩體的外測度為它的體積。
單點集的外測度為\(0\)是因為，可作一開矩體，使得\(x_0\in I\)且\(|I|\)任意小。
設\(I\)是\(\mathbb{R}^n\)中的開矩體，現證明\(m^*(\overline{I})=|\overline{I}|\)。對任意\(\varepsilon>0\)，總可以作一開矩體\(J\supset \overline{I}\)且\(|J|<|\overline{I}|+\varepsilon\)，由\(\varepsilon\)的任意性得\(m^*(I)\le |\overline{I}|\)。現設\(\{I_k\}\)是\(\overline{I}\)的任意\(L-\)覆蓋，由有限子覆蓋定理，存在\(\{I_k\}\)的有限子覆蓋\(\{I_{k_j}\}\)使得
所以\(|\overline{I}|\le m^*(I)\)，綜上\(m^*(\overline{I})=|\overline{I}|\)。
再證明\(m^*(I)=|I|\)，類似證明可以得到\(m^*(I)\le |I|\)，而\(|I|=|\overline{I}|\le m^*(I)\)，即\(|I|=m^*(I)\)。
2-2
證明可測集的三個定義方式等價。
卡氏條件：設\(E\subset \mathbb{R}^n\)，若對任意的點集\(T\subset \mathbb{R}^n\)，有
\[m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c), \]就稱\(E\)為可測集。
開集：設\(E\subset \mathbb{R}^n\)，若對任意\(\varepsilon>0\)，存在開集\(G\supset E\)使得\(m^*(G-E)<\varepsilon\)，則\(E\)是可測集。
閉集：設\(E\subset \mathbb{R}^n\)，若對任意\(\varepsilon>0\)，存在閉集\(F\subset E\)使得\(m^*(E-F)<\varepsilon\)，則\(E\)是可測集。
證明\(1,2,3\)是等價的，\(4,5\)的等價性很容易從\(2,3\)推出。
\(1\to 2\)：
先設\(m^*(E)<\infty\)，可找到\(E\)的\(L-\)覆蓋使得\(E\subset \displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty} I_n}\)且\(m^*(E)+\varepsilon>\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |I_n|}\)，令\(G=\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty} I_n}\)，那么
對一般的可測集，只需令\(E_n=E\cap [n,n+1)\)，那么\(E_n\)就是測度有限且互不相交的可測集列，\(E=\displaystyle{\bigcup_{n}E_n}\)，對每個\(n\)都可以找到\(E_n\subset G_n\)，且\(m(G_n-E_n)<\dfrac{\varepsilon}{2^{|n|+2}}\)，令\(G=\displaystyle{\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}G_n}\)，那么
\(2\to 1\)：
此時對任何\(n\ge 1\)，有包含\(E\)的開集\(G_n\)，使\(m^*(G_n-E)<\dfrac{1}{n}\)，令\(G=\displaystyle{\bigcap_{n=1}^{\infty}G_n}\)，則\(G\)是包含\(E\)的可測集，所以
即\(m^*(G-E)=0\)，從而\(G-E\)可測，即\(E=G-(G-E)\)可測。
\(1\to 3\)：
若\(E\)可測，則\(E^c\)可測，所以有包含\(E^c\)的開集\(G\)使得\(m(G-E^c)<\varepsilon\)，令\(F=G^c\)，由\(G-E^c=E-G^c\)可得\(m(E-F)<\varepsilon\)。
\(3\to 1\)：
類似有\(F_n\)使\(m^*(E-F_n)<\dfrac{1}{n}\)，令\(\displaystyle{F=\bigcup_{n=1}^\infty}F_n\)，可得\(m^*(E-F)=0\)，從而\(E-F\)可測，即\(E=F\cup(E-F)\)可測。
2-3
證明：
- 零測集可測。
- 可測集關於有限交並補差可測。
- 可測集的可列並、可列交可測。
- 證明集合測度的可列可加性。
- Borel集可測。
-
對於零測集\(E\)，有
\[m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c)=m^*(T\cap E^c)\le m^*(T), \]從而\(E\)可測。
-
先證明\(E^c\)可測，因\(E\)可測有
\[m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c)=m^*(T\cap E^c)+m^*(T\cap (E^c)^c)=m^*(T). \]證明\(E_1\cup E_2\)可測，有
\[\begin{aligned} m^*(T)&\le m^*(T\cap (E_1\cup E_2))+m^*(T\cap(E_1\cup E_2)^c)\\ &=m^*(T\cap (E_1\cup E_2))+m^*((T\cap E_1^c)\cap E_2^c)\\ &\stackrel{?}\le m^*((T\cap E_1)\cap E_2)+m^*((T\cap E_1)\cap E_2^c)\\ &\quad +m^*((T\cap E_1^c)\cap E_2)+m^*((T\cap E_1^c)\cap E_2^c)\\ &=m^*(T\cap E_1)+m^*(T\cap E_1^c)\\ &\le m^*(T). \end{aligned} \]這里\(?\)處是因為\(E_1\cup E_2=(E_1\cap E_2)\cup (E_1\cap E_2^c)\cap (E_1^c\cap E_2)\)，也就是
\[T\cap (E_1\cup E_2)=[T\cap (E_1\cap E_2)]\cup[T\cap (E_1\cap E_2^c)]\cup [T\cap (E_1^c\cap E_2)]. \]再證明\(E_1\cap E_2\)可測，有
\[E_1\cap E_2=(E_1^c\cup E_2^c)^c, \]再根據前面證明的並、補可測即得。
-
證明可列並可測，思路是用遞增集列逼近。首先，無論一列可測集是否相交，都有
\[E_1\cup E_2\cup E_3\cup\cdots=E_1\cup (E_2\setminus E_1)\cup (E_3\setminus E_2)\cup \cdots, \]從而只需要討論一列不交可測集的並是否可測。令\(S=\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i}\)，\(S_k=\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{k}E_i}\)，則每一個\(S_k\)可測，從而
\[\begin{aligned} m^*(T)&=m^*(T\cap S_k)+m^*(T\cap S_k^c)\\ &=m^*\left(\bigcup_{i=1}^{k}T\cap E_i \right)+m^*(T\cap S_k^c)\\ &=\sum_{i=1}^{k}m^*(T\cap E_i)+m^*(T\cap S_k^c)\\ &\ge \sum_{i=1}^{k}m^*(T\cap E_i)+m^*(T\cap S^c). \end{aligned} \]令\(k\to \infty\)，由測度的次可加性，有
\[m^*(T)\ge \sum_{i=1}^{\infty}m^*(T\cap E_i)+m^*(T\cap S^c)\ge m^*(T\cap S)+m^*(T\cap S^c). \]於是\(S\)是可測集。
對可列交，只需取補集用可列並討論即可。
-
由上一個證明我們有
\[m^*(T)\ge \sum_{i=1}^{\infty}m^*(T\cap E_i)+m^*(T\cap S^c), \]以\(T\cap S\)代替\(T\)就有
\[m^*(T\cap S)=\sum_{i=1}^{\infty}m^*(T\cap E_i), \]再取\(T=\mathbb{R}^n\)，就有
\[m(S)=\sum_{i=1}^{\infty}m(E_i). \] -
先證\(\mathbb{R}^n\)中的開矩體\(I\)是可測集。取正數列\(\delta_k\to 0\)，作含於\(I\)內的開矩體
\[I_k=(a_1+\delta_k,b_1-\delta_k)\times \cdots \times(a_n+\delta_k,b_n-\delta_k), \]對任意\(T\subset \mathbb{R}^n\)，由於\(d(T\cap I_k,T\cap I^c)\ge \delta_k>0\)，故它們的外測度可加，即
\[m^*(T)\ge m^*((T\cap I_k)\cup (T\cap I^c))=m^*(T\cap I_k)+m^*(T\cap I_c), \]我們可以先證明\(\displaystyle{\lim_{k\to \infty}m^*(T\cap I_k)=m^*(T\cap I)}\)，若記\(\eta=\max\{b_i-a_i\}\)，則可以用\(2n\)個外測度為\(\delta_k(\eta+2\delta_k)^{n-1}\)的閉矩體將點集\((T\cap I)\setminus (T\cap I_k)\)覆蓋起來，從而
\[0\le m^*(T\cap I)-m^*(T\cap I_k)\le 2n\delta_k(\eta+2\delta_k)^{n-1}\to 0. \]令\(k\to \infty\)，就得到
\[m^*(T)\ge m^*(T\cap I)+m^*(T\cap I^c). \]這說明\(I\)是可測集，從而半開方體、閉方體也是可測集，再由可測集的可列並可測，可知任何Borel集都是可測集。
2-4
證明：
增集列的極限滿足
\[m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k \right)=\lim_{k\to \infty}m(E_k). \]如果減集列測度有限，則
\[m\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}E_k \right)=\lim_{k\to \infty}m(E_k). \]若有可測集列\(\{E_k\}\)使得\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}m(E_k)<\infty}\)，則\(\displaystyle{m\left(\varlimsup_{k\to \infty}E_k \right)=0}\)。
-
不妨設對所有\(E_k\)都有\(m(E_k)<\infty\)（如果有一個\(E_k\)有無窮測度則結論自然成立），現
\[m(E_{k-1})+m(E_k\setminus E_{k-1})=m(E_k). \]因\(m(E_{k-1})\)有限，故
\[m(E_k\setminus E_{k-1})=m(E_k)-m(E_{k-1}), \]令\(E_0=\varnothing\)，就有
\[\lim_{k\to \infty}E_k=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k=\bigcup_{k=1}^{\infty}(E_k\setminus E_{k-1}), \]於是
\[m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k \right)=\sum_{k=1}^{\infty}m(E_k\setminus E_{k-1})=\sum_{k=1}^{\infty}[m(E_k)-m(E_{k-1})]=\lim_{k\to \infty}m(E_k). \] -
此時令\(F_k=E_1-E_k\)，則\(F_k\)是增集列，從而
\[\lim_{k\to \infty}m(F_k)=m(E_1)-\lim_{k\to \infty}m(E_k)=m\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}(E_1-E_k) \right)=m(E_1)-m\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}E_k \right), \]這意味着
\[\lim_{k\to \infty}m(E_k)=m\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}E_k \right). \] -
我們知道
\[\varlimsup_{k\to \infty}E_k=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}E_i, \]從而有
\[m\left(\varlimsup_{k\to \infty}E_k \right)=\lim_{k\to \infty}m\left(\bigcup_{i=k}^{\infty}E_i \right)\le \lim_{k\to \infty}\sum_{i=k}^{\infty}m(E_i)=0. \]
2-5
設\(E\subset \mathbb{R}^n\)，\(m(E)>0\)，則存在\(\delta_0\)，使得\(B(0,\delta_0)\subset E-E\)，這里
\[E-E\xlongequal{def}\{x-y:x,y\in E\}. \]
取\(\lambda\)滿足\(1-2^{-(n+1)}<\lambda<1\)，存在開矩體\(I\)使得\(\lambda|I|<m(I\cap E)\)。記\(I\)的最短邊長為\(\delta\)，作開矩體
也就是原點周圍邊長為\(\delta\)的正方體，如果我們能證明\(J\subset E-E\)，則\(J\)內部自然包含了\(B(0,\delta/2)\)。
要證明\(J\subset E-E\)，只要證對每個\(x_0\in J\)，點集\(E\cap I\)必與點集\(\{(E\cap I)+x_0\}\)有交點，則自然\(x_0\in E-E\)。因\(J\)是以原點為中心，邊長為\(\delta\)的開矩體，所以\(I\)的平移矩體\(\{I+x_0\}\)仍然包含\(I\)的中心，從而
由此可得
但由於\(E\cap I\)與\(\{(E\cap I)+x_0\}\)有相同的測度，且都大於\(\lambda I\)，又都含於\(I\cup \{I+x_0\}\)之中，所以必定相交，這就證明了\(J\subset E-E\)。
2-6
設有定義在\(\mathbb{R}\)上的函數\(f\)，滿足
\[f(x+y)=f(x)+f(y),\quad x,y\in \mathbb{R}, \]且在\(E\subset \mathbb{R}\)，\(m(E)>0\)上有界，則\(f(x)=cf(1)\)。
由題設顯然\(\forall r\in \mathbb{Q}\)，\(f(r)=rf(1)\)，又因為\(m(E)>0\)，故存在區間\(I\subset E-E\)。不妨設在\(E\)上\(f(x)|\le M\)，則\(\forall x\in I\)，有\(x',x''\in E\)使得\(x=x'-x''\)，則
記\(I=[a,b]\)，考察\([0,b-a]\)。若\(x\in [0,b-a]\)，則\(x+a\in [a,b]\)，從而由\(f(x)=f(x+a)-f(a)\)可知\(x\in[0,b-a]\)時，\(|f(x)|\le 4M\)。記\(b-a=c\)，上面的論述表明
已知對任何\(x\in\mathbb{R}\)以及自然數\(n\)，總存在有理數\(r\)使得\(|x-r|<c/n\)，所以
根據\(r\)的任意性，\(n\)可以無限大，從而\(|f(x)-xf(1)|\)將小於任何正數，也就是
2-7
證明：存在\([0,1]\)中的可測集\(E\)，使對於\([0,1]\)中任一開區間\(I\)，有
\[0<m(E\cap I)<m(I). \]
首先在\([0,1]\)中作類Cantor集\(H_1\)使\(m(H_1)=1/2\)。接下來，對\(H_1\)的鄰接區間，也就是\(H_1^c\)的每個構成區間\(\overline{I_{1j}}\)再作類Cantor集\(H_{1j}\)，使得\(m(H_{1j})=|I_{1j}|/2^2\)，記\(H_2=\displaystyle{\bigcup_{j=1}^{\infty}H_{1j}}\)。再對\(H_1\cup H_2\)的每個鄰接區間\(I_{2j}\)重復此步驟，得到一列集合\(\{H_i\}\)。令\(E=\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{\infty}H_i}\)，則\(E\)是所求的集合。
這是因為對任何區間\(I\)，由\(E\)的構造，必定有\(E\cap I\ne \varnothing\)，從而有某個\(H_i\)使得\(H_i\cap I\ne \varnothing\)，也存在某個\(I_{ij}\)內的類Cantor集使得\(H_{ij}\cap I\ne\varnothing\)。這樣\(m(I_{ij}\cap I)>0\)，由\(H_{ij}\)的構造過程可知\(m(H_{ij}\cap I)>0\)，從而\(m(E\cap I)>0\)。而結合\(m(I_{ij}\cap I)>0\)，在\(I_{ij}\)中構造\(H_{ij}\)時，必定會扣掉\(I\)中的一部分區間，從而\(m(E\cap I)<m(I)\)。