【實變函數】3. 可測函數
本章介紹可測函數，是勒貝格積分的主體，它與階梯函數、連續函數、多項式等都有一定的聯系。文中所提到的證明點此查看。
1. 可測函數
可測函數有幾種簡單的定義：設\(f(x)\)是定義在可測集\(E\subset \mathbb{R}^{n}\)上的廣義實值函數，若對任何\(t\in \mathbb{R}\)，下列集合都是可測集（四條中滿足一條即可）：
- \(\{x:f(x)>t\}\)；
- \(\{x:f(x)<t\}\)；
- \(\{x:f(x)\ge t\}\)；
- \(\{x:f(x)\le t\}\)。
容易驗證，以上四個條件是等價的。但實際生活中，我們往往將\(\forall t\in \mathbb{R}\)的條件減弱成\(\forall t\in D\)，這里\(D\)是\(\mathbb{R}\)上的一個稠集（如有理數集\(\mathbb{Q}\)），這是函數可測的等價條件（證明3-1）。
對於可測函數，為什么稱其為可測函數？就是將函數值限定在任何一個水平或者區間上，構成這個區域的\(x\)的范圍都是可測集，這是可測函數的基本性質。
對於可測函數，以下性質是比較重要的，這些性質保證了很大一部分函數都是可測函數（\(1\sim 5\)：證明3-2）。
- \(\mathbb{R}\)上的連續函數、單調函數都是可測函數。
- 若\(f(x)\)、\(g(x)\)是\(E\subset \mathbb{R}^n\)上的實值可測函數，則\(cf(x),f(x)+g(x),f(x)g(x)\)都是\(E\)上的可測函數。
- 對\(E\subset \mathbb{R}^n\)上的可測函數列\(\{f_k(x)\}\)，\(\displaystyle{\sup_{k\ge 1}\{f_k(x)\}},\inf_{k\ge 1}\{f_k(x)\},\varlimsup_{k\to \infty}f_k(x),\varliminf_{k\to \infty}f_k(x)\)是\(E\)上的可測函數。
- 對\((a,b)\)上的實值函數\(f(x)\)，\(\displaystyle{\overline{D}f(x)=\varlimsup_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x},\underline{D}f(x)=\varliminf_{y\to x}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}}\)是\((a,b)\)上的可測函數。
- 對\(\mathbb{R}^2\)上的實值函數\(f(x,y)\)，固定\(x\)時\(f(x,y)\)是\(y\in \mathbb{R}\)上的連續函數，固定\(y\)時\(f(x,y)\)是\(x\in \mathbb{R}\)上的可測函數，則\(f(x,y)\)是\(\mathbb{R}^2\)上的可測函數。
- 設\(f(x)\)是\(\mathbb{R}^{1}\)上的連續函數，\(g(x)\)是\(\mathbb{R}^1\)上的實值可測函數，則復合函數\(h(x)=f(g(x))\)是\(\mathbb{R}^1\)上的可測函數。
由於函數在一個零測集處的取值不會改變其可測性，因此接下來的許多命題，都將關注函數在去掉一個不重要的零測集上的性質，我們將函數在一個零測集外成立的性質稱為幾乎處處成立。
需要注意的是，函數幾乎處處成立的性質，有時候不一定可以另找一個函數使得性質處處成立，這表明\(\mathrm{a.e.}\)成立與完全成立之間依然存在着很大的區別。可以關注下面兩個例子：
- \(f\)是\(\mathbb{R}\)上的連續函數，\(g=f,\mathrm{a.e.}\)，\(g\)卻不一定\(\mathrm{a.e.}\)連續。
- \(f\)是\(\mathbb{R}\)上的\(\mathrm{a.e.}\)連續函數，不一定存在\(g=f,\mathrm{a.e.}\)，使得\(g\)是\(\mathbb{R}\)上的完全連續函數。
2. 可測函數列的收斂
由於我們給出了可測函數列的極限也是可測函數，故下面討論的函數均為可測函數。
實變函數的提出，是為了解決積分與函數極限的交換問題，在此之前必須定義函數的收斂性。在學習實變函數之前，我們常常提到的收斂有以下兩種：
- 收斂：\(\forall x\in E\)，\(\displaystyle{\lim_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)}\)。
- 一致收斂：\(\forall \varepsilon>0\)，\(\exists N\)使得\(n\ge N\)時\(\forall x\in E\)，\(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\)。
顯然一致收斂是要比收斂更強的收斂，如果僅是收斂，函數的極限性質可能在某些情況下不成立。在數學分析中，我們給出函數列一致收斂等價於
在實變函數中，我們需要掌握兩種另外的收斂形式。
- 幾乎處處收斂：存在\(E\)中的零測集\(Z\)使\(\forall x\in E\setminus Z\)，\(\displaystyle{\lim_{n\to \infty}f_k(x)=f(x)}\)。
- 依測度收斂：\(\forall \varepsilon>0\)，\(\displaystyle{\lim_{n\to \infty}m(\{x\in E:|f_k(x)-f(x)|>\varepsilon\})=0}\)。
從定義上看，這兩種收斂均不關注\(E\)上的“小測度”信息，其中幾乎處處收斂會忽略一個固定的零測集，而依測度收斂將忽略一個不固定的小測度集。由此，我們可以看出收斂強於幾乎處處收斂，而在許多情況下，幾乎處處收斂也蘊含依測度收斂。接下來我們將討論一些聯系起幾種收斂的定理。（證明3-3、3-4、3-5）
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Egoroff定理：若\(m(E)<\infty\)，\(f_k(x)\to f(x),\mathrm{a.e.}\)，則對任給的\(\delta>0\)，存在\(E\)的可測子集\(E_{\delta}\)使\(m(E_\delta)\le \delta\)，且\(\{f_k(x)\}\)在\(E\setminus E_{\delta}\)上一致收斂於\(f(x)\)。
此定理表明，在測度有限的情況下，幾乎處處收斂的函數列可以在一個小測度集以外一致收斂。主要注意的是兩個條件，一是\(E\)的測度有限，這個條件實際上是應用於遞減集列的測度收斂；二是一致收斂需扣除一個小測度集，而不能扣除零測集。
如果測度是無限的，則取\(f_n(x)=\chi_{(0,n)}(x)\)，雖然有\(f_n(x)\to 0\)，但是不可能在一個小測度集上一致收斂。
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Riesz定理：若\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上依測度收斂於\(f(x)\)，則存在子列\(\{f_{k_i}(x)\}\)幾乎處處收斂於\(f(x)\)。
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Lebesgue定理：若\(m(E)<\infty\)，\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上幾乎處處收斂於\(f(x)\)，則\(\{f_k(x)\}\)依測度收斂於\(f(x)\)。
Riesz定理與Lebesgue定理揭示了兩種相對弱一些的收斂：幾乎處處收斂和依測度收斂之間的聯系。其中，幾乎處處收斂在測度有限的情況下強於依測度收斂，而依測度收斂的函數列也必定包含一個幾乎處處收斂的子列。
3. 依測度收斂
值得注意的是，依測度收斂作為一種新的收斂形式，它有一些其他的性質。下面，給出依測度Cauchy基本列的概念。
- 依測度Cauchy列：若\(\forall \varepsilon>0\)，有
\[\lim_{k,j\to \infty}m(\{x\in E:|f_k(x)-f_j(x)|>\varepsilon\})=0, \]則稱\(\{f_k(x)\}\)為\(E\)上的依測度Cauchy基本列。
Cauchy基本列有唯一極限，依測度收斂函數也不例外，在\(E\)上存在幾乎處處有限的可測函數\(f(x)\)使得\(\{f_k(x)\}\)依測度收斂於\(f(x)\)。（證明3-6）
由於依測度收斂函數的不收斂集位置不固定，所以其運算性質也與一般的收斂函數不同。下面給出測度收斂函數的幾個運算性質。以下均假設\(f_k\stackrel{m}\Rightarrow f\)，\(g_k\stackrel{m}\Rightarrow g\)。
- \(f_k\pm g_k\stackrel{m}\Rightarrow f\pm g\)，\(cf_k\stackrel{m}\Rightarrow cf\)。
- \(|f_k|\stackrel{m}\Rightarrow |f|\)。
- \(\min\{f_k,g_k\}\stackrel{m}\Rightarrow \min\{f,g\}\)，\(\max\{f_k,g_k\}\stackrel{m}\Rightarrow \max\{f,g\}\)。
- 若\(f_k\stackrel{m}\Rightarrow 0\)，則\(f_k^2\stackrel{m}\Rightarrow 0\)。
- 如果\(m(E)<\infty\)，則\(f_kh\stackrel{m}\Rightarrow fh\)，\(f_k^2\stackrel{m}\Rightarrow f^2\)，\(f_kg_k\stackrel{m}\Rightarrow fg\)。這里\(h\)是可測函數。
- 設在\([a,b]\)上\(f_k\stackrel{m}\Rightarrow f\)，而\(g\)是\(\mathbb{R}\)上的連續函數，則\(g\circ f_k\stackrel{m}\Rightarrow g\circ f\)。
要注意，第五點中，\(m(E)<\infty\)是必要的，不滿足這個條件很可能出錯。如
顯然有\(f_k\stackrel{m}\Rightarrow f\)，但是\(f_k^2\stackrel{m}\nRightarrow f^2\)。我們這里給出第五點的證明。
令\(E_n=\{x:|h(x)|\le n\}\)，可知\(E_n\)是單調遞增的集列，我們有
\[E=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{x:|h(x)|\le n\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n. \]故\(\displaystyle{m(E)=\lim_{n\to \infty}m(E_n)}\)，結合\(m(E)<\infty\)，可得\(\forall \delta>0\)，都存在\(n\)使\(m(\{x:|h(x)|>n\})<\delta\)。
現令\(B=\{x:|h(x)|<n\}\)，\(A=\{x:|f_k(x)h(x)-f(x)h(x)|>\varepsilon\}\)，則
\[\begin{aligned} A\cap B&=\{x:|f_n(x)-f(x)|\cdot |h(x)|>\varepsilon\}\cap\{x:|g(x)|\le n\}\\ &\subset \{x:|f_n(x)-f(x)|>\frac{\varepsilon}{n}\},\\ A&=\{x:|f_n(x)h(x)-f(x)h(x)|>\varepsilon\}\\ &=(A\cap B)\cup(A\cap B^c)\\ &\subset \{x:|f_n(x)-f(x)|>\frac{\varepsilon}{n}\}\cup B^c, \end{aligned} \]由於\(f_k\stackrel{m}\Rightarrow f\)，故\(n\to \infty\)時，\(\{x:|f_n(x)-f(x)|>\dfrac{\varepsilon}{n}\}\)測度趨近於\(0\)，而\(B^c\)也測度趨近於\(0\)，故\(A\)的測度趨近於\(0\)，這就說明\(f_kh\stackrel{m}\Rightarrow fh\)。
接下來，由於\((f_k-f)^2\stackrel{m}\Rightarrow 0\)，展開就得到\(f_k^2\stackrel{m}\Rightarrow f^2\)，再由
\[f_kg_k=\frac{[(f_k+g_k)]^2-[(f_k-g_k)]^2}{4}, \]得到\(f_kg_k\stackrel{m}\Rightarrow fg\)。
4. 可測函數的逼近
可測函數可以由簡單函數逼近。
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簡單函數：設\(f(x)\)是定義在\(E\subset \mathbb{R}^n\)上的實值函數，若\(\{y:y=f(x),x\in E\}\)是有限集，則稱\(f(x)\)為\(E\)上的簡單函數。
令\(E_i=f^{-1}(\{c_i\})\)，\(c_i\in \{y:y=f(x),x\in E\}\)，則
\[f(x)=\sum_{i=1}^{p}c_i\chi_{E_i}(x). \] -
階梯函數：若每個\(E_i\)是矩體（可以\(m(E_i)=\infty\)），則稱這樣的簡單函數為階梯函數。
我們所研究的簡單函數，只針對各\(E_i\)均可測的簡單函數，即可測簡單函數。顯然，若\(f(x),g(x)\)是簡單函數，則\(f(x)\pm g(x)\)，\(f(x)g(x)\)均為簡單函數。
下述定理十分重要，它往往可以用於證明一些可測函數相關結論。
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非負簡單函數漸升逼近：若\(f(x)\)是\(E\)上的非負可測函數，則存在非負可測的漸升可測函數列\(\varphi_k(x)\)，使得
\[\lim_{k\to \infty}\varphi_k(x)=f(x). \] -
一般可測函數逼近：若\(f(x)\)是\(E\)上的可測函數，則存在可測簡單函數列\(\{\varphi_k(x)\}\)，\(|\varphi_k(x)|\le |f(x)|\)，且有
\[\lim_{k\to \infty}\varphi_k(x)=f(x). \]如果\(f(x)\)有界，則上述收斂還是一致的。
構造這樣的簡單函數的過程，實際上是一邊細化值域區間，一邊向外擴張，並取值域區間的最小值作為值域區間內的函數取值。
可測函數可以由連續函數逼近。
- Lusin定理：若\(f(x)\)是\(E\subset\mathbb{R}^n\)上幾乎處處有限的可測函數，則任給\(\delta>0\)，存在\(E\)中的閉集\(F\)，使得\(m(E\setminus F)<\delta\)，\(f(x)\)是\(F\)上的連續函數。（證明3-7）
Lusin定理對可測函數本身沒有任何要求，因此可以把它看作可測函數性質的一種描述：總可以在一個小測度集以外連續。同時，這個小測度集也不能再縮小為零測集。
同時，Lusin定理的重要意義還在於，可測函數可以在這個閉集內解析延拓，使\(E\setminus F\)內\(f(x)=g(x)\)，這里\(g(x)\)是\(\mathbb{R}^n\)上的連續函數。這依托於以下的延拓定理：
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連續延拓：若\(F\)是\(\mathbb{R}^n\)中的閉集，\(f(x)\)是定義在\(F\)上的連續函數且\(|f(x)|\le M\)，則存在\(\mathbb{R}^{n}\)上的連續函數\(g(x)\)滿足\(|g(x)|\le M\)且\(x\in F\)時，\(g(x)=f(x)\)。（證明3-8）
這里\(|f(x)|\le M\)是非必要的，只需作變換\(\arctan f(x)\)即可。但是\(|f(x)|\)的界同時也是\(g(x)\)的界，這是\(f(x)\)有界的意義。
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Lusin定理推論：若\(f(x)\)是\(E\subset \mathbb{R}^n\)上幾乎處處有限的可測函數，則對任給的\(\delta>0\)，存在\(\mathbb{R}^n\)上的一個連續函數\(g(x)\)，滿足\(\displaystyle{\sup_{x\in E}f(x)\ge \sup_{x\in \mathbb{R}^n}g(x)}\)，且\(m(\{x:f(x)\ne g(x)\})<\delta\)。
這樣，我們就得到了連續函數逼近可測函數的結論。
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可測函數用連續函數逼近：若\(f(x)\)是\(E\subset \mathbb{R}^n\)上幾乎處處有限的可測函數，則存在\(\mathbb{R}^n\)上的連續函數列\(\{g_k(x)\}\)使得
\[\lim_{k\to \infty}g_k(x)=f(x),\quad \mathrm{a.e.} \]這是因為，我們可以按Lusin定理所指示的選擇一列趨近於\(f(x)\)的連續函數\(g_k(x)\)，使得
\[m(\{g_k(x)\ne f(x)\})<\frac{1}{k}, \]從而\(g_k(x)\)依測度收斂於\(f(x)\)，再由Riesz定理從\(g_k(x)\)中抽取一個子列\(g_{k_i}(x)\)便幾乎處處收斂於\(f(x)\)。
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要注意的是，幾乎處處收斂的結論不能再改進為處處收斂。