【實變函數】4. Lebesgue積分
本文介紹Lebesgue積分的定義，並給出積分的一些常用性質。注意Lebesgue積分的定義是從非負函數向一般函數擴展的，這依托於一般函數的分解\(f(x)=f^+(x)-f^-(x)\)。文中所提到的證明點此查看。
1. Lebesgue積分
在Riemann積分的意義下，我們很容易得出階梯函數的積分值，就是每一個矩體的體積乘上這一矩體對應函數值的加和；現在，既然我們有了測度這一描述“體積”的工具，階梯函數也可以推廣為簡單函數。我們曾提到，可測函數可以用可測簡單函數逼近，因此Lebesgue積分就是由可測簡單函數向一般可測函數的推廣。
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非負可測簡單函數的積分：設非負簡單函數為\(\displaystyle{f(x)=\sum_{i=1}^{p}c_i\chi_{A_i}(x)}\)，這里\(A_i\)互不交地構成\(\mathbb{R}^{n}\)的分划。若\(E\subset\mathbb{R}^n\)是可測集，則定義\(f(x)\)在\(E\)上的積分為
\[\int_{E}f(x)\mathrm{d}x=\sum_{i=1}^{p}c_im(E\cap A_i). \] -
非負可測函數的積分：設\(f(x)\)是\(E\subset \mathbb{R}^n\)上的非負可測函數，則\(f(x)\)在\(E\)上的積分定義為
\[\int_{E}f(x)\mathrm{d}x=\sup_{h(x)\le f(x),x\in E}\int_{E}h(x)\mathrm{d}x, \]這里\(h(x)\)是\(\mathbb{R}^{n}\)上的非負可測簡單函數。
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非負可積函數：若\(\displaystyle{\int_{E}f(x)\mathrm{d}x<\infty}\)，則稱\(f(x)\)在\(E\)上可積。
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一般可測函數的積分：設\(f(x)\)是\(E\subset \mathbb{R}^n\)上的可測函數，若積分\(\displaystyle{\int_{E}f^+(x)\mathrm{d}x}\)，\(\displaystyle{\int_{E}f^{-}(x)\mathrm{d}x}\)中至少有一個是有限值，則稱\(f(x)\)在\(E\)上的積分為
\[\int_{E}f(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f^{+}(x)\mathrm{d}x-\int_{E}f^-(x)\mathrm{d}x. \] -
可積函數：若\(\displaystyle{\int_{E}f^{+}(x)\mathrm{d}x}\)和\(\displaystyle{\int_{E}f^{-}(x)\mathrm{d}x}\)都是有限值，則稱\(f(x)\)在\(E\)上可積。
由此可見，對於非負可積函數，不論\(f(x)\)性質如何，只要\(f(x)\)是可測函數且\(E\)是可測集，那么\(\displaystyle{\int_{E}f(x)\mathrm{d}x}\)就存在，而對可積函數，\(f^{+}(x)\)與\(f^{-}(x)\)至少有一個可積，才稱\(\displaystyle{\int_{E}f(x)\mathrm{d}x}\)。不僅如此，如果稱函數可積，則其積分值必須是有限值，這是我們定義可積函數的標准。由此可以看出，許多函數在任意區間\([a,b]\)上可積，但不一定在\(\mathbb{R}\)上也可積。我們將集合\(E\)上的可積函數類記作\(L(E)\)。
現在，我們給出一些可積函數的性質，以下均設\(f(x),g(x)\)為\(E\)上的可測函數。
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有序性：若\(f(x)\le g(x)\)，則\(\displaystyle{\int_{E}f(x)\mathrm{d}x\le \int_{E}g(x)\mathrm{d}x}\)。
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線性性質：若\(C\)是常數，則
\[\int_{E}Cf(x)\mathrm{d}x=C\int_{E}f(x)\mathrm{d}x,\\ \int_{E}[f(x)+g(x)]\mathrm{d}x=\int_{E}f(x)\mathrm{d}x+\int_{E}g(x)\mathrm{d}x. \] -
乘法性質：若\(f\in L(E)\)，\(g(x)\le M\)且二者都可測，則\(fg\in L(E)\)。
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若\(f\)是可測函數，則\(f(x)\)的可積性與\(|f(x)|\)相同，且由絕對值不等式，
\[\left|\int_{E}f(x)\mathrm{d}x \right|\le \int_{E}|f(x)|\mathrm{d}x. \]這里強調\(f\)可測，是因為\(f(x)\)的可測性與\(|f(x)|\)不一定相同。
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若\(A\)是\(E\)的可測子集，則\(\displaystyle{\int_{A}f(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f(x)\chi_{A}(x)\mathrm{d}x}\)。
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若\(f\in L(E)\)，則\(f(x)\)在\(E\)上幾乎處處有限，即\(m(\{x:|f(x)|=\infty\})=0\)。
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若\(|f(x)|\le F(x)\)且\(g(x)\)可積，則\(f(x)\)也可積。此時的\(g(x)\)稱為\(f(x)\)的控制函數，控制函數法是用於證明函數可積的重要策略。
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積分的絕對連續性：若\(f\in L(E)\)，則\(\forall \varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，使得任何\(E\)中子集\(e\)只要滿足\(m(e)<\delta\)，就有\(\displaystyle{\left|\int_{e}f(x)\mathrm{d}x\right|\le \int_{e}|f(x)|\mathrm{d}x<\varepsilon}\)。
這里給出絕對連續性的證明，由於對一般的可測函數可以對\(|f(x)|\)使用絕對連續性定理，故下面的證明中假定\(f(x)\ge 0\)。
\(\forall \varepsilon>0\)，存在簡單函數\(\varphi(x)\le f(x)\)，使\(\displaystyle{\int_{E}[f(x)-\varphi(x)]\mathrm{d}x<\frac{\varepsilon}{2}}\)，不妨設\(\varphi(x)\le M\)。現在，取\(\delta=\dfrac{\varepsilon}{2M}\)，那么
\[\begin{aligned} \int_{e}f(x)\mathrm{d}x=&\int_{e}f(x)\mathrm{d}x-\int_{e}\varphi(x)\mathrm{d}x+\int_{e}\varphi(x)\mathrm{d}x\\ &\le \int_{E}[f(x)-\varphi(x)]\mathrm{d}x+\int_{e}Mx\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+M\cdot m(e)\\ &\le \varepsilon. \end{aligned} \]得證。
2. 三大收斂定理
對於Lebesgue積分，有兩大十分重要的收斂定理，其中之一是關於非負可積函數的單調收斂定理。它給出了極限與積分可交換的一個條件：關於可列指標漸升。（證明4-1）
- Levi單調收斂定理：設有定義在\(E\)上的漸升非負可測函數列\(\{f_k(x)\}\)，且\(\displaystyle{\lim_{k\to \infty}f_k(x)=f(x)}\)，\(x\in E\)，則
\[\lim_{k\to \infty}\int_{E}f_k(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f(x)\mathrm{d}x. \]在此關系式中，令\(g_k(x)=f_1(x)-f_k(x)\)，就能證明當\(\{g_k(x)\}\)是非負漸降函數列時，積分與極限依然可交換。
我們知道非負可測函數可以由非負簡單函數漸升逼近，且逼近的形式不唯一，通過Levi單調收斂定理，可以發現只要這一列簡單函數最終漸升收斂於\(f(x)\)，那么這一列簡單函數的積分值極限就會是此可測函數的積分值極限。這也是我們計算非負可測函數的Lebesgue積分的一個方法。
由Levi單調收斂定理，我們還能得出以下結論：
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若\(f\in L(\mathbb{R}^n)\)，則\(\displaystyle{\lim_{N\to \infty}\int_{|x|\ge N}|f(x)|\mathrm{d}x=0}\)。（證明4-2）
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非負函數逐項積分：若\(\{f_k(x)\}\)是\(E\)上的非負可測函數列，則
\[\int_{E}\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E}f_k(x)\mathrm{d}x. \]只需令\(S_{k}(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{k}f_i(x)}\)，利用Levi單調收斂定理即可。
此定理指出，只要函數項每一項都非負可測，函數項級數就可以逐項積分。
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積分區域可加性：設\(E_k\)是互不相交的可測集，且\(f\in L(E)\)，\(\displaystyle{E=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k}\)，則
\[\int_{E}f(x)\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E_k}f(x)\mathrm{d}x. \]可以先假設諸\(f\)是非負函數，再令\(f_k(x)=f(x)\chi_{E_k}(x)\)，由非負函數逐項積分可得。然后對一般可測函數\(f\)，只需\(f=f^+-f^-\)即可推得。
注意到令\(f(x)\equiv 1\)，就得到了測度的可列可加性。
對於非負函數列，如果它單調，我們證明了極限與積分可交換；而當它不單調時，極限與積分不一定可交換，但Fatou引理給出了先極限后積分與先積分后極限之間的大小關系。(證明4-3)
- Fatou引理：若\(\{f_k(x)\}\)是\(E\)上的非負可測函數列，則
\[\int_{E}\varliminf_{k\to \infty}f_k(x)\mathrm{d}x\le \varliminf_{k\to \infty}\int_{E}f_k(x)\mathrm{d}x. \]
Fatou引理甚至不要求\(\{f_k(x)\}\)收斂，而如果\(f_k(x)\)是收斂的，就有\(\displaystyle{\varliminf_{k\to \infty}f_k(x)=\lim_{k\to \infty}f(x)}\)，不過，對\(f_k(x)\)的非負性要求依然存在。要注意，不要把不等號方向弄反。可以舉出一個使得Fatou引理中不等號成立的例子，用下面的例子來記住不等式的方向：
同時，Fatou引理也表明，只要\(\displaystyle{\int_{E}f_k(x)\mathrm{d}x}\)均有界，且\(\{f_k(x)\}\)收斂，則收斂到的函數\(f(x)\)是可積的。
最后是對有界函數列的Lebesgue控制收斂定理，與Levi單調收斂定理與Fatou引理不同的是，它不要求可測函數的非負性，即對任意可測函數列，只要滿足被某個可積函數所一致控制，積分與極限就可以交換。（證明4-4）
- Lebesgue控制收斂定理：設\(\{f_k(x)\}\in L(E)\)且\(\displaystyle{\lim_{k\to \infty}f_k(x)=f(x),\mathrm{a.e.}}\)。若存在\(F(x)\in L(E)\)使得對每個\(k\)，都有\(|f_k(x)|\le F(x),\mathrm{a.e.}\)，那么
\[\lim_{k\to \infty}\int_{E}f_k(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f(x)\mathrm{d}x. \]稱\(F(x)\)為函數列\(\{f_k(x)\}\)的控制函數。實際上，此時有\[\lim_{k\to \infty}\int_{E}|f_k(x)-f(x)|\mathrm{d}x=0. \]
為驗證積分與極限可交換，往往要用到Levi單調收斂定理或者Lebesgue控制收斂定理，而單調收斂定理需要滿足的非負性與單調性，由函數本身的性質就可以直接得出，在許多情況下並不適用，比如積分式中出現\(\sin x\)、\(\cos x\)使函數正負交錯時；而Lebesgue控制收斂定理的條件相對要弱一些，但同時驗證的難度也較大，尋找控制函數是一個問題，有時可能需要分段控制。我們給出一些利用控制收斂定理和單調收斂定理證明函數可積的例子（證明4-5）。
由Lebesgue控制收斂定理，可以得到以下結論：
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逐項積分：設\(f_k\in L(E)\)，若\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E}|f_k(x)|\mathrm{d}x<\infty}\)，則\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)}\)在\(E\)上幾乎處處收斂於\(f(x)\)，這時\(f\in L(E)\)且
\[\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E}f_k(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f(x)\mathrm{d}x. \]證明過程與非負可測函數的逐項積分類似，只需構造出控制函數\(F(x)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)}\)即可。
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積分號下求導（證明4-6）：設\(f(x,y)\)是定義在\(E\times (a,b)\)上的函數，作為\(x\)的函數在\(E\)上可積，作為\(y\)的函數在\((a,b)\)上可微。若存在\(F\in L(E)\)，使得\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f(x,y)\le F(x),\mathrm{a.e.}}\)，則積分與求導可交換，有
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_{E}f(x,y)\mathrm{d}x=\int_{E}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f(x,y)\mathrm{d}y. \]
3. 可積函數與連續函數
這一部分，首先給出可積函數可以由其他類型函數逼近的定理。
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若\(f\in L(E)\)，則\(\forall \varepsilon>0\)，存在\(\mathbb{R}^n\)上具有緊支集的連續函數\(g(x)\)，使得
\[\int_{E}|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x<\varepsilon. \]這里，具有緊支集指的是\(\{x:f(x)\ne 0\}\)的閉包是緊集。證明過程只需先取一個簡單函數作\(\dfrac{\varepsilon}{2}\)的初次逼近，再用連續函數逼近此簡單函數即可。
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由此，可以得到一列具有緊支集的連續函數列\(\{g_k(x)\}\)，使得
\[\lim_{k\to \infty}\int_{E}|f(x)-g_k(x)|\mathrm{d}x=0, \]即\(g_k(x)\)依\(L^{1}\)收斂於\(f(x)\)，意味着\(\displaystyle{\lim_{k\to \infty}g_k(x)=f(x),\mathrm{a.e.}}\)。
特別當\(E=[a,b]\)時，結論可以改進為：
- 有有界可測函數\(g\)，使\(\displaystyle{\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x<\varepsilon}\)。
- 有連續函數\(h\)，使\(\displaystyle{\int_{a}^{b}|f(x)-h(x)|\mathrm{d}x<\varepsilon}\)。
- 有多項式\(P\)，使\(\displaystyle{\int_{a}^{b}|f(x)-P(x)|\mathrm{d}x<\varepsilon}\)。
- 有階梯函數\(S\)，使\(\displaystyle{\int_{a}^{b}|f(x)-S(x)|<\varepsilon}\)。
接下來給出積分的平均連續性定理。
- 平均連續性：若\(f\in L(\mathbb{R}^n)\)，則
\[\lim_{h\to 0}\int_{\mathbb{R}^{n}}|f(x+h)-f(x)|\mathrm{d}x=0. \]
對這個定理的證明，首先利用連續函數逼近定理，可以將\(f(x)\)分解為\(f_1(x)+f_2(x)\)，這里\(f_1(x)\)是具有緊支集的連續函數，\(f_2(x)\)是一個積分足夠小的函數，不妨設小於\(\dfrac{\varepsilon}{4}\)。對具有緊支集的連續函數，當\(h\)足夠小時，自然有\(\displaystyle{\int_{\mathbb{R}^{n}}|f_1(x+h)-f_1(x)|\mathrm{d}x<\frac{\varepsilon}{2}}\)，從而
4. 積分的計算
直接利用定義計算Lebesgue積分是幾乎不可能得到的，即使是利用Levi單調收斂定理，也要找到一個漸升收斂於原函數的簡單函數列，計算過程十分繁瑣。注意到Lebesgue積分是對Riemann積分的推廣，因此直覺上Lebesgue積分應當擁有與Riemann積分相同的積分值。如果能夠論證這兩種積分之間的數量關系，求Lebesgue積分就會變得簡單，這包含了兩個問題：
- 函數\(f(x)\)Riemann可積，是否一定Lebesgue可積？反之是否成立？
- 如果\(f(x)\)既Riemann可積，又Lebesgue可積，兩個積分值是否相等？
在一維有界的情形，我們不加證明地給出結論：若\(f(x)\)在\(I=[a,b]\)上是Riemann可積的，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上是Lebesgue可積的，且積分值相同。
然而，對於反常積分，Riemann可積的函數卻不一定Lebesgue可積，這是因為由正常積分的極限得到的Riemann積分可能收斂，但是Lebesgue積分的可積性必須滿足\(|f|\)可積，有時\(f\)會在趨向無窮處或瑕點附近正負擺動，使得\(f\)的積分收斂但\(|f|\)發散，如
這種結果是Lebesgue積分的定義所致，它不是正常積分的極限，而是\(f^+\)與\(f^-\)積分的差，因而\(f\)可積必須要求\(f^+\)和\(f^-\)都是有限值。但是，當\(f^+\)與\(f^-\)都是無限時，它們的差（極限意義下）卻不一定是無限值，這導致了Riemann反常積分的存在。但如果\(|f|\)也廣義Riemann可積，則\(f\)是廣義Lebesgue可積的。
以上是一維的情形，對於二維及以上的區域，Riemann積分采用累次積分的方式計算連續函數的重積分，從而簡化積分的計算過程；對於Lebesgue積分，如果\(f\)是可積函數，則累次積分與重積分仍然是相等的，這就是Fubini定理（對非負可測函數，此定理為Tonelli定理）。
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Fubini定理：若\(f\in L(\mathbb{R}^{n})\)，\((x,y)\in \mathbb{R}^{n}=(\mathbb{R}^{p}\times\mathbb{R}^q)\)，則
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對於\(x\in \mathbb{R}^p,\mathrm{a.e.}\)，\(f(x,y)\)是\(\mathbb{R}^q\)上的可積函數（\(\mathrm{d}y\)）。
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積分\(\displaystyle{\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)\mathrm{d}y}\)是\(\mathbb{R}^p\)上的可積函數（\(\mathrm{d}x\)）。
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有
\[\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^p}\mathrm{d}x\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^q}\mathrm{d}y\int_{\mathbb{R}^p}f(x,y)\mathrm{d}x. \]
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運用Fubini定理，前提是\(f\in L(\mathbb{R}^{n})\)，否則即使兩個累次積分存在，重積分也可能不存在。因此，運用Fubini定理，實際上是在闡述二元函數\(f(x,y)\)的可積性。欲將積分化為累次積分，常常需要引入特征函數，如：若\(f\in L([0,1]^{2})\)，則
事實上只要引入積分區域\(E=\{(x,y):0\le y\le x\le 1\}\)，並用\(\chi_{E}f(x,y)\)替換\(f(x,y)\)即可。
接下來給出一些特殊的二元積分：卷積函數和分布函數。
- 卷積：設\(f(x)\)和\(g(x)\)是\(\mathbb{R}^{n}\)上的可測函數，若積分
\[\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x-y)g(y)\mathrm{d}y \]存在，則稱此積分為\(f\)與\(g\)的卷積，記作\((f*g)(x)\)。
卷積函數有如下性質（證明4-7）：
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可積函數的卷積函數可積且有界：若\(f,g\in L(\mathbb{R}^{n})\)，則\((f*g)(x)\)對幾乎處處\(x\in \mathbb{R}^{n}\)存在，\((f*g)(x)\in L(\mathbb{R}^{n})\)，且
\[\int_{\mathbb{R}^{n}}|(f*g)(x)|\mathrm{d}x\le \left(\int_{\mathbb{R}^{n}}|f(x)|\mathrm{d}x \right)\left(\int_{\mathbb{R}^{n}}|g(x)|\mathrm{d}x \right). \] -
卷積是連續函數：設\(f\in L(\mathbb{R}^{n})\)，\(g(x)\)在\(\mathbb{R}^{n}\)上有界可測，則\(F(x)=(f*g)(x)\)是\(\mathbb{R}\)上的一致連續函數。
分布函數的概念與概率論中隨機變量的分布函數不一樣，於此，它用於刻畫函數在集合上的分布區域。
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分布函數：設\(f(x)\)在\(E\)上可測（不要求可積），則稱\(f(x)\)在\(E\)上的分布函數為
\[f_*(\lambda)=m(\{x\in E:|f(x)|>\lambda\}),\quad \lambda>0. \]顯然\(f_*(\lambda)\)是\((0,\infty)\)上的減函數。
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關於分布函數，有以下結論：若\(f(x)\)是\(E\)上的可測函數，則對\(1\le p<\infty\)，有
\[\int_{E}|f(x)|^{p}\mathrm{d}x=p\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}f_*(\lambda)\mathrm{d}\lambda. \]作函數\(F(\lambda,x)=\chi_{\{|f(x)|>\lambda\}}(\lambda,x)\)，由Tonelli定理可得
\[\begin{aligned} &\quad \int_{E}|f(x)|^{p}\mathrm{d}x\\ &=\int_{E}\left[\int_{0}^{|f(x)|}p\lambda^{p-1}\mathrm{d}\lambda\right]\mathrm{d}x\\ &=\int_{E}\left[\int_{0}^{\infty}p\lambda^{p-1}\chi_{\{\lambda<|f(x)|\}}\mathrm{d}\lambda \right]\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{\infty}\int_{E}p\lambda^{p-1}\chi_{\{|f(x)|>\lambda\}}\mathrm{d}x\mathrm{d}\lambda\\ &=\int_{0}^{\infty}p\lambda^{p-1}\left[\int_{E}\chi_{\{|f(x)|>\lambda\}}\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}\lambda\\ &=\int_{0}^{\infty}p\lambda^{p-1}f_*(\lambda)\mathrm{d}\lambda. \end{aligned} \] -
特別當\(p=1\)時，有
\[\int_{E}|f(x)|\mathrm{d}x=\int_{0}^{\infty}m(\{x:|f(x)|>\lambda\})\mathrm{d}\lambda. \]