設函數 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上可積，對任意的 $x \in [a,b]$，做變上限積分
$$\Phi (x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$$
這個積分稱為函數 $f(x)$ 的積分上限函數。
當 $f(x) > 0$ 時，$\Phi (x)$ 在幾何上表示為右側鄰邊可以變動的曲邊梯形的面積。
性質1：函數 $\Phi (x)$ 在區間 $[a,b]$ 上連續
直觀上看，當 $f(x) > 0$ 時，函數 $\Phi (x)$ 代表的是圖形在區間 $[a,x]$ 上的面積，很明顯，面積隨 $x$ 的變化是連續的。
使用 $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y = 0$ 來證明。
$$\Delta y = \Phi(x + \Delta x) - \Phi(x) = \int_{x_{0}}^{x + \Delta x}f(t)dt - \int_{x_{0}}^{x}f(t)dt = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt$$
因為 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可積，所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，設 $|f(x)| \leq M$，於是
$$|\Delta y | = |\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt \;| \leq \int_{x}^{x + \Delta x}|f(t)|dt \leq M\cdot \Delta x$$
由夾逼准則可得
$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y = 0$$
性質2：若函數 $f(x)$ 在區間 $[a，b]$ 上連續，則 $\Phi (x)$ 在區間 $[a，b]$ 上可導，且 $\Phi^{'}(x) = f(x)$。
由 1 可知：
$$\Delta y = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt$$
再由定積分中值定理，得
$$\Delta y = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = f(\xi)\cdot \Delta x$$
所以有
$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\xi)\cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}f(\xi) = f(x)$$
故：變上限積分函數是 $f(x)$ 的一個原函數。
可以看出，當 $f(x) > 0$ 時，它的原函數 $\Phi(x)$ 在某一點的函數值就是 $f(x)$ 在該點左側圖形的面積。
$f(x)$ 的任意一個原函數 $F(x)$ 滿足，每一個原函數之間都相差一個常數 $C$。
$$F(x) = \Phi(x) + C$$