【實變函數】5. 微分與積分
本文主要就微積分基本定理的表現形式與成立條件進行討論，我們將積分區域局限於\(\mathbb{R}\)。文中所提到的證明點此查看。
1. 單調函數與有界變差函數
單調函數是一類基礎而又重要的函數，因為我們在下面將經常使用這類函數，如不定全變差函數等。Lebesgue定理給出了單調函數的一個重要性質：幾乎處處可微。
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Lebesgue定理：若\(f(x)\)是定義在\([a,b]\)上的單調上升函數，則\(f(x)\)的不可微點集為零測集，且
\[\int_{a}^{b}f'(x)\mathrm{d}x\le f(b)-f(a). \]注意不等式的方向，這說明\(f'(x)\in L([a,b])\)。可以考慮階梯函數以得到不等號成立的例子。
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單調函數幾乎處處可微，但存在零測集處\(f'(x)=\infty\)的情況，因此，此結論一般不能再被改進。
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設\(E\subset (a,b)\)且\(m(E)=0\)，可以作\([a,b]\)上連續且單增的函數\(f(x)\)，使\(f'(x)=\infty\)，\(x\in E\)。
Lebesgue定理的證明較為繁瑣，這里我們不證明\(f(x)\)幾乎處處可微，只對不等式的成立進行說明。為趨近\(f'(x)\)，常取的函數是\(f_n(x)=\displaystyle{n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x) \right]}\)，並令\(x>b\)時\(f(x)=f(b)\)，這樣當\(n\to \infty\)時\(f_n(x)\to f'(x)\)。另外，由於\(f\)是單增的，故\(f_n(x)\ge 0\)，\(f'(x)\ge 0\)，此時運用Fatou引理，就有
注意這里使用了積分的平移變換。
利用此定理，可以給出Fubini逐項微分定理（證明4-1），它指出在幾乎處處成立的意義下，單調函數的極限與微分可交換。
- 逐項微分：設\(\{f_n(x)\}\)是\([a,b]\)上的遞增函數列，且\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)}\)在\([a,b]\)上收斂，則
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) \right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f_n(x),\quad \mathrm{a.e.}x\in [a,b]. \]
需要注意，對逐項微分定理成立的條件，它必須要使\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)}\)處處收斂，但最終的結果上，極限與微分只在幾乎處處成立的條件下可交換。
利用逐項微分，我們可以構造出嚴格單增函數\(f(x)\)，它是可數個單增函數的和，但\(f'(x)=0,\mathrm{a.e.}\)。只需注意對\(\mathbb{R}\)上一個可數稠密集如\(\mathbb{Q}=\{r_n\}_{n\ge 1}\)，定義\(f_n(x)=\dfrac{1}{2^{n}}\chi_{[r_n,\infty)}\)，再取\(f(x)\)為\(f_n(x)\)的和函數即可。
有界變差函數是對單調函數的延拓，即，單調函數在全局上的變化是單一的，無論如何取區間，區間內的變化都只有一個方向；而有界變差函數則允許函數在任意位置的變化不定向，但約定：變化的總量是有限值。具體地，需要先定義函數在區間\([a,b]\)上的變差、全變差，才能定義有界變差函數，以下設\(f(x)\)是定義在\([a,b]\)上的實值函數。
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變差：對\([a,b]\)的分划\(\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)，定義\(f(x)\)在\([a,b]\)上關於此分划的變差為
\[v_\Delta=\sum_{i=1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i-1})|. \] -
全變差：記\(f\)在\([a,b]\)上的全變差是
\[T_{a}^{b}(f)=\bigvee_{a}^{b}(f)=\sup\{v_{\Delta}\}. \]這里\(\Delta\)是\([a,b]\)上的任意分划，由此定義可知\(T_{a}^{b}(f)\)不依賴於分划的選取。
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有界變差函數：若\(T_{a}^{b}(f)<\infty\)，則稱\(f(x)\)是\([a,b]\)上的有界變差函數，其全體記作\(\mathrm{BV}([a,b])\)。
容易驗證，\([a,b]\)上的單調函數是有界變差函數，但連續函數卻不一定是有界變差的（因連續函數的振幅可以很大）；另外如果處處可微函數的導數有界，那么此函數也有界變差。有界變差函數類關於四則運算，有如下關系：如果\(f,g\in\mathrm{BV}([a,b])\)，則\(f\pm g\)，\(fg\)也有界變差，且當\(|g|\ge \lambda>0\)時\(f/g\)也有界變差。
全變差有一個基礎的性質，是變差的可拆分性，即若\(c\in[a,b]\)，則
對\(f\in \mathrm{BV}([a,b])\)，我們引入不定全變差\(T_{a}^{x}(f)\)作為工具，它可以用於描繪有界變差函數的性質。易見它在\([a,b]\)上單增，且\(f(x)\)的連續點處\(T_{a}^{x}(f)\)也連續。
- 定理：若\(f\)是\([a,b]\)上的有界變差函數，則\(f(x)\)與\(T_{a}^{x}(f)\)具有相同的左連續點集與右連續點集。（證明5-2）
現在，我們可以給出有界變差函數的一系列性質，以下，設\(f\in\mathrm{BV}([a,b])\)。（證明5-3）
- \(f(x)\)在\([a,b]\)上有界。
- \(f(x)\)的不連續點至多可數。
- Jordan分解：\(f(x)=g(x)-h(x)\)，這里\(g(x)\)和\(h(x)\)都是\([a,b]\)上的單增函數。
- \(f(x)\)幾乎處處可導，且\(f'(x)\)在\([a,b]\)上可積。
- \(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}T_{a}^{x}(f)=|f'(x)|,\mathrm{a.e.}}\)。
注意，連續函數不一定是有界變差函數，這是因為函數的振幅可以在一個鄰域內很大。參考以下函數：
它在\([0,1]\)上無界變差，因為對分划\(\Delta:\{\dfrac{1}{n}\}\cup \{0\}\)，當\(n\)趨向於無窮大時\(v_{\Delta}\)趨向於無窮大，但顯而易見它是連續函數。
2. 不定積分
先給出不定積分的定義，不定積分，實際上就是變限積分，可類比不定全變差。
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不定積分：設\(f\in L([a,b])\)，則\(f(x)\)的不定積分為
\[F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t. \]因為\(f\in L([a,b])\)，所以\(F(x)\)總是有界。
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連續平均：設\(f\in L([a,b])\)，稱函數\(f\)在\([x,x+h]\)的連續平均為
\[F_{h}(x)=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\mathrm{d}t. \] -
Lebesgue點：滿足\(\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{0}^{h}|f(x+t)-f(x)|\mathrm{d}t=0}\)的點稱為\(f(x)\)的Lebesgue點。
在Riemann積分的意義下，變上限積分的導函數就是被積函數本身，由此推得了微積分基本定理。在Lebesgue意義下，我們希望微分與積分的可逆關系仍然是成立的，但是Lebesgue積分在零測集上的取值不影響積分值，因此我們只能希望有\(F'(x)=f(x)\)幾乎處處成立。定理表明，只要\(f\)是可積函數，那么這樣的關系是成立的。為此，先證明可積函數連續平均的極限是\(L^1\)收斂到\(f(x)\)本身的。
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連續平均收斂（證明5-4）：設\(f\in L([a,b])\)，\(F_{h}(x)=\displaystyle{\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\mathrm{d}t}\)，當\(x\notin [a,b]\)時\(f(x)=0\)，則
\[\lim_{h\to 0}\int_{a}^{b}|F_h(x)-f(x)|\mathrm{d}x=0. \]這蘊含着\(F_{h}(x)\to f(x),\mathrm{a.e.}\)。
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可積函數的Lebesgue點：若\(f\in L([a,b])\)，則\([a,b]\)中幾乎處處是Lebesgue點。
由此，就可以證明不定積分與微分的關系。
- 定理：設\(f\in L([a,b])\)，\(F(x)\)為\(f(x)\)的不定積分，則
\[F'(x)=f(x),\quad \mathrm{a,e.} \]
為證明此結論，首先要證明\(F(x)\)是幾乎處處可導的，事實上，可積函數的不定積分是有界變差函數，這是因為對任意分划\(\Delta:\{x_i\}\)，有
而事實上，我們知道\(F'(x)=\displaystyle{\lim_{h\to 0}F_h(x)}\)，所以由Fatou引理，我們有
這就說明\(F'(x)=f(x),\mathrm{a.e.}\)。
3. 微積分基本定理
在Riemann積分中，微積分基本定理指的是
現在，令\(F(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}\)，由於\(F'(x)=f(x)\)只是幾乎處處成立，所以微積分基本定理不一定成立。事實上，如果將函數類縮小到有界變差函數甚至單調函數，微積分基本定理可能依然不成立，如Cantor函數\(\Phi(x)\)是單調函數（從而有界變差），滿足\(\Phi'(x)=0,\mathrm{a.e.}\)，但是\(\Phi(1)-\Phi(0)=1\)。
很多時候，這種情況源於導函數幾乎處處為\(0\)的函數，其函數值不為常數。為了使微積分基本定理成立，我們需要排除這種情況，引入一種新的函數類，這就是絕對連續函數。
- 絕對連續函數：設\(f(x)\)是\([a,b]\)上的實值函數，若\(\forall \varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，使當\([a,b]\)中任意有限個互不相交的開區間\(\{(x_i,y_i)\}_{1\le i\le n}\)，當滿足\(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(y_i-x_i)<\delta}\)時，就有
\[\sum_{i=1}^{n}|f(y_i)-f(x_i)|<\varepsilon, \]就稱\(f(x)\)是\([a,b]\)上的絕對連續函數。
絕對連續函數滿足以下的性質：
- 絕對連續函數一定是連續函數。
- 若\(f\in L([a,b])\)，則其不定積分\(\displaystyle{F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}\)是絕對連續函數。（由\(|f(x)|\)積分的絕對連續性）
- 若\(f(x)\)是\([a,b]\)上的絕對連續函數，則\(f(x)\in\mathrm{BV}([a,b])\)。從而\(f(x)\)在\([a,b]\)上幾乎處處可微，且\(f'(x)\)可積。
- 若\(f(x)\)滿足Lipschitz條件，即\(\forall x,y\in[a,b]\)，有\(|f(x)-f(y)|\le L(x-y)\)，則\(f(x)\)是\([a,b]\)上的絕對連續函數。
接下來，我們可以指出，絕對連續函數的定義，保證了它就是我們需要的這種函數——只要導函數幾乎處處為\(0\)，那么函數值就為常數。而事實上，只要排除掉導函數幾乎處處為\(0\)但函數不為常值的情況，剩下的函數一定滿足微積分基本定理。
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定理（證明5-5）：若\(f'(x)=0,\mathrm{a.e.}\)，且\(f(x)\)在\([a,b]\)不是常值函數，則必存在\(\varepsilon>0\)，使得對任意\(\delta>0\)，\([a,b]\)內存在有限個互不相交的區間\(\{(x_i,y_i)\}_{1\le i\le n}\)，滿足\(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(y_i-x_i)<\delta}\)，但
\[\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}|f(y_i)-f(x_i)|>\varepsilon}. \] -
推論：若\(f(x)\)是\([a,b]\)上的絕對連續函數且\(f'(x)=0,\mathrm{a.e.}\)，則\(f(x)\equiv c\)。
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微積分基本定理：若\(f(x)\)是\([a,b]\)上的絕對連續函數，則
\[f(x)-f(a)=\int_{a}^{x}f'(t)\mathrm{d}t,\quad x\in[a,b]. \]
有了上面的一系列推斷，微積分基本定理的結論是一個很自然的結果。首先，由於\(f(x)\)是絕對連續，從而\(f'(x)\)必定是可積的，故可以令\(g(x)=\displaystyle{\int_{a}^{x}f'(t)\mathrm{d}t}\)，這是一個不定積分，從而由不定積分與微分的基本關系可知\(g'(x)=f'(x),\mathrm{a.e.}\)，也就是\(g'(x)-f'(x)=0,\mathrm{a.e.}\)。又因為絕對連續函數構成一個線性空間，所以\(g(x)-f(x)\)是絕對連續函數，根據上述定理有\(g(x)\equiv f(x)\)，這就證明了結論。同時，微積分基本定理也是可逆的，即若\(f(x)\)具有形式\(\displaystyle{f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}g(t)\mathrm{d}t}\)，那么\(f(x)\)是絕對連續的。
最后，我們給出一個判定函數是否絕對連續的定理。
- 定理：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可微，且\(f'(x)\in L([a,b])\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上絕對連續。