實變函數-集合論(1)

1. 集合的運算

(一) 並與交

  (i) 滿足結合律，交換律

  (ii) 分配律

\[A\cap(\bigcup\limits_{\alpha\in I}B_\alpha)=\bigcup\limits_{\alpha\in I}(A\cap B_\alpha) \]

\[A\cup(\bigcap\limits_{\alpha\in I}B_\alpha)=\bigcap\limits_{\alpha\in I}(A\cup B_\alpha) \]

(二) 差與補

  定義: 設\(A,B\)是兩個集合，稱\(\{x:x\in A,x\notin B\}\)為\(A\)與\(B\)的差集，記為\(A\setminus B\). 當\(B\)是\(A\)的子集時，稱\(A\setminus B\)為集合\(B\)相對於集合\(A\)的補集或余集. 集合\(B\)相對於全集\(X\)的補集簡稱為B的補集或余集，記為\(B^c\), 即\(B^c=X\setminus B\). 也記為\(B^c=\{x\in X:x\notin B\}\).

(1) De. Morgan法則

  (i) \(\left(\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha\right)^c=\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha^c\);

  (ii) \(\left(\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha\right)^c=\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha^c\).

(2) 對稱差

  定義: \(A\)與\(B\)的對稱差為\(A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\)

由定義知\(A\cup B=(A\cap B)\cup(A\triangle B)\). 有下列簡單事實:

  (i) \(A\triangle\varnothing=A,A\triangle A=\varnothing,A\triangle A^c=X,A\triangle X=A^c\).

  (ii) 交換律: \(A\triangle B=B\triangle A\), 結合律: \((A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C)\).

  (iii) 交與對稱差滿足分配律:

\[A\cup(B\triangle C)=(A\cap B)\triangle(A\cap C) \]

(三) 集合列的極限

  定義: 設\(\{A_k\}\)是一個集合列. 若

\[A_1\supset A_2\supset\cdots\supset A_k\supset\cdots, \]

此時稱集合列為遞減集合列, 稱交集\(\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}A_k\)為\(\{A_k\}\)的極限集, 記為\(\lim\limits_{k\to\infty}A_k\); 若

\[A_1\subset A_2\subset\cdots\subset A_k\subset\cdots, \]

則稱\(\{A_k\}\)為遞增集合列, 稱並集\(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\)為\(\{A_k\}\)的極限集, 記為\(\lim\limits_{k\to\infty}A_k​\).

  對於一般的集合列, 也可類似於上、下極限的做法來給出上、下限集的概念.

  定義: 設\(\{A_k\}\)是一集合列, 令

\[B_j=\bigcup\limits_{k=j}^\infty A_k \]

顯然有\(B_j\supset B_{j+1}(j=1,2,\cdots)\). 稱

\[\lim\limits_{k\to\infty}B_k=\bigcap\limits_{j=1}^\infty B_j=\bigcap\limits_{j=1}^\infty\bigcup\limits_{k=j}^\infty A_k \]

為\(\{A_k\}\)的上極限集(上限集), 記為\(\overline{\lim\limits_{k\to\infty}}A_k.\)類似地, 稱

\[\bigcup\limits_{j=1}^\infty\bigcap\limits_{k=j}^\infty A_k \]

為\(\{A_k\}\)的下極限集(下限集), 記為\(\varliminf\limits_{k\to\infty}A_k​\)

(四) 集合列的直積

  定義: 設\(X,Y\)是集合，稱一切有序元素對\((x, y)\)(其中\(x\in X,y\in Y\))形成的集合為\(X\)與\(Y\)的直積集, 記為\(X\times Y\), 即

\[X\times Y=\{(x,y):x\in X,y\in Y\}​ \]

2. 映射與基數

(一) 映射

  設\(X,Y\)為兩個非空集合. 若\(\forall x\in X\), 均存在唯一的\(y\in Y\)與之對應, 則稱這個對應為映射(變換或函數), 記為\(f:X\to Y\). \(y\)稱為\(x\)在映射\(f\)下的像, \(x\)稱為\(y\)的一個原像, 記為\(y=f(x)\). 又可作\(g:Y\to X, g(y)=x\), 其中\(x\)由關系\(y=f(x)\)確定, 稱\(g\)為\(f\)的逆映射, 記為\(f^{-1}\).

  設\(f:X\to Y, g:Y\to W,\) 則由\(h(x)=g(f(x))\quad(x\in X)\)定義的\(h:X\to W\)稱為\(g\)和\(f\)的復合映射.

  對\(f:X\to Y\)以及\(A\subset X\), 記\(f(A)=\{y\in Y:\ x\in A, y=f(x)\}\), 稱\(f(A)\)為集合\(A\)在映射\(f\)下的像集(\(f(\varnothing)=\varnothing\)). 有下列簡單事實:

  (i) \(f\left(\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha\right)=\bigcup\limits_{\alpha\in I}f(A_\alpha)\);

  (ii) \(f\left(\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha\right)\subset\bigcap\limits_{\alpha\in I}f(A_\alpha)\).

  設\(f:X\to Y\)以及\(B\subset Y\), 記\(f^{-1}(B)=\{x\in X:\ f(x)\in B\}\), 稱\(f^{-1}(B)\)為集合\(B\)關於\(f\)的原像集. 有下列簡單事實:

  (i) 若\(B_1\subset B_2\), 則\(f^{-1}(B_1)\subset f^{-1}(B_2)\quad(A\subset Y)\);

  (ii) \(f^{-1}\left(\bigcup\limits_{\alpha\in I}B_\alpha\right)=\bigcup\limits_{\alpha\in I}f^{-1}(B_\alpha)\quad(B_\alpha\subset Y,\alpha\in I)\);

  (iii) \(f^{-1}\left(\bigcap\limits_{\alpha\in I}B_\alpha\right)=\bigcap\limits_{\alpha\in I}f^{-1}(B_\alpha)\quad(B_\alpha\subset Y,\alpha\in I)\);

  (iv) \(f^{-1}(B^c)=(f^{-1}(B))^c\quad(B\subset Y)\).

  若對每一個\(y\in Y\), 均有\(x\in X\), 使得\(y=f(x)\), 則稱\(f\)為從\(X\)到\(Y\)的滿射. 若當\(x_1,x_2\in X\)且\(x_1\neq x_2\)時, 有\(f(x_1)\neq f(x_2)\), 即\(X\)中不同元有不同的像, 稱\(f\)是從\(X\)到\(Y\)的一個單射. 若\(f\)既是單射又是滿射, 則稱\(f\)為\(X\)到\(Y\)上的一一映射.

(二) 特征函數

  定義: 對於\(X\)中的子集\(A\), 作

\[\chi_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A,\\0,&x\in X\setminus A,\end{cases} \]

且稱\(\chi_A:X\to\mathbb{R}\)是定義在\(X\)上的\(A\)的特征函數.

  特征函數可以認為就是集合, 即特征函數和集合是同構的. 集合問題都可以變為特征函數問題, 如\(A\neq B\)即\(\chi_A\neq\chi_B\), \(A\subset B\)即\(\chi_A(x)\le \chi_B(x)\). 有下列簡單事實:

  (i) \(\chi_{A\cup B}(x)=\chi_A(x)+\chi_B(x)-\chi_{A\cap B}(x)\);

  (ii) \(\chi_{A\cap B}(x)=\chi_A(x)\cdot\chi_B(x)\);

  (iii) \(\chi_{A\setminus B}(x)=\chi_A(x)[1-\chi_B(x)]\);

  (iv) \(\chi_{A\triangle B}(x)=\left|\chi_A(x)-\chi_B(x)\right|\).

(三) 冪集

  設\(X\)是一個非空集合, 由\(X\)的一切子集為元素形成的集合稱為\(X\)的冪集, 記為\(\mathscr{P}(X)\).

  集合勢(即集合的元素個數)有限假設為\(n\), \(\mathscr{P}(X)\)元素個數為\(2^n\).

(四) 基數(集合的元素個數)

  定義: 設有集合\(A\)與\(B\). 若存在一個從\(A\)到\(B\)上的一一映射, 則稱\(A\)與\(B\)對等, 記為\(A\sim B\).

  顯然, 對等關系有如下的基本性質:

  (i) 自反性: \(A\sim A\)

  (ii) 對稱性: 若\(A\sim B\), 則\(B\sim A\)

  (iii) 傳遞性: 若\(A\sim B, B\sim C\), 則\(A\sim C\)

Cantor-Bernstein定理

  引理(集合在映射下的分解): 若有\(f:X\to Y,g:Y\to X\), 則存在分解

\[X=A\cup A^{\sim},\quad Y=B\cup B^{\sim} \]

其中\(f(A)=B,g(B^{\sim})=A^{\sim},A\cap A^{\sim}=\varnothing\)以及\(B\cap B^{\sim}=\varnothing\).

  Cantor-Bernstein定理: 若集合\(X\)與\(Y\)的某個真子集對等, \(Y\)與\(X\)某個真子集對等, 則\(X\sim Y\).

  證明: 由題設知存在單射\(f:X\to Y\)與單射\(g:Y\to X\), 由映射分解定理知

\[X=A\cup A^{\sim},\quad Y=B\cup B^{\sim},\quad f(A)=B,\quad g(B^{\sim})=A^{\sim}. \]

注意到\(f:A\to B\)以及\(g^{-1}:A^{\sim}\to B^{\sim}\)是一一映射, 因此可作\(X\)到\(Y\)上的一一映射\(F\):

\[F(x)=\begin{cases}f(x),&x\in A\\g^{-1}(x),&x\in A^{\sim}\end{cases} \]

這說明\(X\sim Y\).

  現在我們描述集合的基數(或勢)的概念. 設\(A,B\)是兩個集合, 如果\(A\sim B\), 那么我們就說\(A\)與\(B\)的基數(cardinal number)或勢是相同的, 記為\(\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}\).

自然數\(\mathbb{N}\)的基數，可列集

  記自然數集\(\mathbb{N}\)的基數為\(\aleph_0\)(讀作阿列夫(Aleph)零). 若集合\(A\)的基數為\(\aleph_0\), 則\(A\)叫做可列集. ,這是由於\(\mathbb{N}=\{1,2,\cdots,n,\cdots\}\), 而\(A\sim\mathbb{N}\), 故可將\(A\)中元素按一一對應關系以自然數次序排列起來，有:\(A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\}\).

  定理1: 任一無限集\(E\)必包含一個可列子集.

  證明 任取\(E\)中一元, 記為\(a_1\); 再從\(E\setminus\{a_1\}\)中取一元, 記為\(a_2,\cdots,\)設已選出\(a_1,a_2,\cdots,a_n\). 因為\(E\)為無限集, 所以

\[E\setminus\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\neq\varnothing \]

於是又從\(E\setminus\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)中再選一元, 記為\(a_{n+1}\). 這樣, 我們就得到一個集合

\[\{a_1,a_2,\cdots,a_n,a_{n+1},\cdots\}. \]

這是一個可列集且為\(E\)的子集.

  定理2: 若\(A_n(n=1,2,\cdots)\)為可列集, 則並集\(A=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\)也是可列集.

  證明 只需討論\(A_i\cap A_j=\varnothing\)的情況. 設

\[A_1=\{a_{11},a_{12},\cdots,a_{1j},\cdots\}, \]

\[A_2=\{a_{21},a_{22},\cdots,a_{2j},\cdots\}, \]

\[\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \]

\[A_i=\{a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{ij},\cdots\}, \]

\[\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \]

則\(A=\{a_{11},a_{21},a_{12},a_{31},a_{22},a_{13},\cdots,a_{ij},\cdots\}\)(規律為\(a_{11}\)排第一, 當\(i+j\gt2\)時,\(a_{ij}\)排第\(n\)位, \(n=j+\sum\limits_{k=1}^{i+j-2}k\))為可列集.

推論: 有理數集\(\mathbb{Q}\)是可列集.

  定理3: 設\(A\)是無限集且其基數為\(\alpha\). 若\(B\)是至多可列集, 則\(A\cup B\)的基數仍為\(\alpha\).

  證明 不妨設\(B=\{b_1,b_2,\cdots\},A\cap B=\varnothing\), 且

\[A=A_1\cup A_2,\quad A_1=\{a_1,a_2,\cdots\}. \]

作映射\(f\)如下:

\[f(a_i)=a_{2i},\quad a_i\in A_1;\quad f(b_i)=a_{2i-1},\quad b_i\in B; \]

  顯然, \(f\)是\(A\cup B\)到\(A\)上的一一映射.

  定理4: 集合\(A\)作為無限集的充分必要條件是\(A\)與某某真子集對等.

\(\mathbb{R}\)的基數，不可數集

  通過一一映射\(f(x)=\frac{x+1}{2}\)可知, \([-1,1]\)與\([0,1]\)對等. 因此, 要研究實數集\(\mathbb{R}\)的基數, 只需討論\([0,1]\)的基數即可.

  定理5: \([0,1]=\{x:0\le x\le 1\}\)不是可數集.

  稱\((0,1]\)的基數為連續基數, 記為\(c\)(或\(\aleph_1\)). 易知\(\overline{\overline{R}}=c\).

  定理6: 設有集合列\(\{A_k\}\). 若每個\(A_k\)的基數都是連續基數, 則其並集\(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\)的基數是連續基數.

  定理7(無最大基數定理): 若\(A\)是非空集合, 則\(A\)與其冪集\(\mathscr{P}(A)\)不對等.