实变函数-集合论(1)

1. 集合的运算

(一) 并与交

  (i) 满足结合律，交换律

  (ii) 分配律

\[A\cap(\bigcup\limits_{\alpha\in I}B_\alpha)=\bigcup\limits_{\alpha\in I}(A\cap B_\alpha) \]

\[A\cup(\bigcap\limits_{\alpha\in I}B_\alpha)=\bigcap\limits_{\alpha\in I}(A\cup B_\alpha) \]

(二) 差与补

  定义: 设\(A,B\)是两个集合，称\(\{x:x\in A,x\notin B\}\)为\(A\)与\(B\)的差集，记为\(A\setminus B\). 当\(B\)是\(A\)的子集时，称\(A\setminus B\)为集合\(B\)相对于集合\(A\)的补集或余集. 集合\(B\)相对于全集\(X\)的补集简称为B的补集或余集，记为\(B^c\), 即\(B^c=X\setminus B\). 也记为\(B^c=\{x\in X:x\notin B\}\).

(1) De. Morgan法则

  (i) \(\left(\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha\right)^c=\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha^c\);

  (ii) \(\left(\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha\right)^c=\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha^c\).

(2) 对称差

  定义: \(A\)与\(B\)的对称差为\(A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\)

由定义知\(A\cup B=(A\cap B)\cup(A\triangle B)\). 有下列简单事实:

  (i) \(A\triangle\varnothing=A,A\triangle A=\varnothing,A\triangle A^c=X,A\triangle X=A^c\).

  (ii) 交换律: \(A\triangle B=B\triangle A\), 结合律: \((A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C)\).

  (iii) 交与对称差满足分配律:

\[A\cup(B\triangle C)=(A\cap B)\triangle(A\cap C) \]

(三) 集合列的极限

  定义: 设\(\{A_k\}\)是一个集合列. 若

\[A_1\supset A_2\supset\cdots\supset A_k\supset\cdots, \]

此时称集合列为递减集合列, 称交集\(\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}A_k\)为\(\{A_k\}\)的极限集, 记为\(\lim\limits_{k\to\infty}A_k\); 若

\[A_1\subset A_2\subset\cdots\subset A_k\subset\cdots, \]

则称\(\{A_k\}\)为递增集合列, 称并集\(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\)为\(\{A_k\}\)的极限集, 记为\(\lim\limits_{k\to\infty}A_k​\).

  对于一般的集合列, 也可类似于上、下极限的做法来给出上、下限集的概念.

  定义: 设\(\{A_k\}\)是一集合列, 令

\[B_j=\bigcup\limits_{k=j}^\infty A_k \]

显然有\(B_j\supset B_{j+1}(j=1,2,\cdots)\). 称

\[\lim\limits_{k\to\infty}B_k=\bigcap\limits_{j=1}^\infty B_j=\bigcap\limits_{j=1}^\infty\bigcup\limits_{k=j}^\infty A_k \]

为\(\{A_k\}\)的上极限集(上限集), 记为\(\overline{\lim\limits_{k\to\infty}}A_k.\)类似地, 称

\[\bigcup\limits_{j=1}^\infty\bigcap\limits_{k=j}^\infty A_k \]

为\(\{A_k\}\)的下极限集(下限集), 记为\(\varliminf\limits_{k\to\infty}A_k​\)

(四) 集合列的直积

  定义: 设\(X,Y\)是集合，称一切有序元素对\((x, y)\)(其中\(x\in X,y\in Y\))形成的集合为\(X\)与\(Y\)的直积集, 记为\(X\times Y\), 即

\[X\times Y=\{(x,y):x\in X,y\in Y\}​ \]

2. 映射与基数

(一) 映射

  设\(X,Y\)为两个非空集合. 若\(\forall x\in X\), 均存在唯一的\(y\in Y\)与之对应, 则称这个对应为映射(变换或函数), 记为\(f:X\to Y\). \(y\)称为\(x\)在映射\(f\)下的像, \(x\)称为\(y\)的一个原像, 记为\(y=f(x)\). 又可作\(g:Y\to X, g(y)=x\), 其中\(x\)由关系\(y=f(x)\)确定, 称\(g\)为\(f\)的逆映射, 记为\(f^{-1}\).

  设\(f:X\to Y, g:Y\to W,\) 则由\(h(x)=g(f(x))\quad(x\in X)\)定义的\(h:X\to W\)称为\(g\)和\(f\)的复合映射.

  对\(f:X\to Y\)以及\(A\subset X\), 记\(f(A)=\{y\in Y:\ x\in A, y=f(x)\}\), 称\(f(A)\)为集合\(A\)在映射\(f\)下的像集(\(f(\varnothing)=\varnothing\)). 有下列简单事实:

  (i) \(f\left(\bigcup\limits_{\alpha\in I}A_\alpha\right)=\bigcup\limits_{\alpha\in I}f(A_\alpha)\);

  (ii) \(f\left(\bigcap\limits_{\alpha\in I}A_\alpha\right)\subset\bigcap\limits_{\alpha\in I}f(A_\alpha)\).

  设\(f:X\to Y\)以及\(B\subset Y\), 记\(f^{-1}(B)=\{x\in X:\ f(x)\in B\}\), 称\(f^{-1}(B)\)为集合\(B\)关于\(f\)的原像集. 有下列简单事实:

  (i) 若\(B_1\subset B_2\), 则\(f^{-1}(B_1)\subset f^{-1}(B_2)\quad(A\subset Y)\);

  (ii) \(f^{-1}\left(\bigcup\limits_{\alpha\in I}B_\alpha\right)=\bigcup\limits_{\alpha\in I}f^{-1}(B_\alpha)\quad(B_\alpha\subset Y,\alpha\in I)\);

  (iii) \(f^{-1}\left(\bigcap\limits_{\alpha\in I}B_\alpha\right)=\bigcap\limits_{\alpha\in I}f^{-1}(B_\alpha)\quad(B_\alpha\subset Y,\alpha\in I)\);

  (iv) \(f^{-1}(B^c)=(f^{-1}(B))^c\quad(B\subset Y)\).

  若对每一个\(y\in Y\), 均有\(x\in X\), 使得\(y=f(x)\), 则称\(f\)为从\(X\)到\(Y\)的满射. 若当\(x_1,x_2\in X\)且\(x_1\neq x_2\)时, 有\(f(x_1)\neq f(x_2)\), 即\(X\)中不同元有不同的像, 称\(f\)是从\(X\)到\(Y\)的一个单射. 若\(f\)既是单射又是满射, 则称\(f\)为\(X\)到\(Y\)上的一一映射.

(二) 特征函数

  定义: 对于\(X\)中的子集\(A\), 作

\[\chi_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A,\\0,&x\in X\setminus A,\end{cases} \]

且称\(\chi_A:X\to\mathbb{R}\)是定义在\(X\)上的\(A\)的特征函数.

  特征函数可以认为就是集合, 即特征函数和集合是同构的. 集合问题都可以变为特征函数问题, 如\(A\neq B\)即\(\chi_A\neq\chi_B\), \(A\subset B\)即\(\chi_A(x)\le \chi_B(x)\). 有下列简单事实:

  (i) \(\chi_{A\cup B}(x)=\chi_A(x)+\chi_B(x)-\chi_{A\cap B}(x)\);

  (ii) \(\chi_{A\cap B}(x)=\chi_A(x)\cdot\chi_B(x)\);

  (iii) \(\chi_{A\setminus B}(x)=\chi_A(x)[1-\chi_B(x)]\);

  (iv) \(\chi_{A\triangle B}(x)=\left|\chi_A(x)-\chi_B(x)\right|\).

(三) 幂集

  设\(X\)是一个非空集合, 由\(X\)的一切子集为元素形成的集合称为\(X\)的幂集, 记为\(\mathscr{P}(X)\).

  集合势(即集合的元素个数)有限假设为\(n\), \(\mathscr{P}(X)\)元素个数为\(2^n\).

(四) 基数(集合的元素个数)

  定义: 设有集合\(A\)与\(B\). 若存在一个从\(A\)到\(B\)上的一一映射, 则称\(A\)与\(B\)对等, 记为\(A\sim B\).

  显然, 对等关系有如下的基本性质:

  (i) 自反性: \(A\sim A\)

  (ii) 对称性: 若\(A\sim B\), 则\(B\sim A\)

  (iii) 传递性: 若\(A\sim B, B\sim C\), 则\(A\sim C\)

Cantor-Bernstein定理

  引理(集合在映射下的分解): 若有\(f:X\to Y,g:Y\to X\), 则存在分解

\[X=A\cup A^{\sim},\quad Y=B\cup B^{\sim} \]

其中\(f(A)=B,g(B^{\sim})=A^{\sim},A\cap A^{\sim}=\varnothing\)以及\(B\cap B^{\sim}=\varnothing\).

  Cantor-Bernstein定理: 若集合\(X\)与\(Y\)的某个真子集对等, \(Y\)与\(X\)某个真子集对等, 则\(X\sim Y\).

  证明: 由题设知存在单射\(f:X\to Y\)与单射\(g:Y\to X\), 由映射分解定理知

\[X=A\cup A^{\sim},\quad Y=B\cup B^{\sim},\quad f(A)=B,\quad g(B^{\sim})=A^{\sim}. \]

注意到\(f:A\to B\)以及\(g^{-1}:A^{\sim}\to B^{\sim}\)是一一映射, 因此可作\(X\)到\(Y\)上的一一映射\(F\):

\[F(x)=\begin{cases}f(x),&x\in A\\g^{-1}(x),&x\in A^{\sim}\end{cases} \]

这说明\(X\sim Y\).

  现在我们描述集合的基数(或势)的概念. 设\(A,B\)是两个集合, 如果\(A\sim B\), 那么我们就说\(A\)与\(B\)的基数(cardinal number)或势是相同的, 记为\(\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}\).

自然数\(\mathbb{N}\)的基数，可列集

  记自然数集\(\mathbb{N}\)的基数为\(\aleph_0\)(读作阿列夫(Aleph)零). 若集合\(A\)的基数为\(\aleph_0\), 则\(A\)叫做可列集. ,这是由于\(\mathbb{N}=\{1,2,\cdots,n,\cdots\}\), 而\(A\sim\mathbb{N}\), 故可将\(A\)中元素按一一对应关系以自然数次序排列起来，有:\(A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\}\).

  定理1: 任一无限集\(E\)必包含一个可列子集.

  证明 任取\(E\)中一元, 记为\(a_1\); 再从\(E\setminus\{a_1\}\)中取一元, 记为\(a_2,\cdots,\)设已选出\(a_1,a_2,\cdots,a_n\). 因为\(E\)为无限集, 所以

\[E\setminus\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\neq\varnothing \]

于是又从\(E\setminus\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)中再选一元, 记为\(a_{n+1}\). 这样, 我们就得到一个集合

\[\{a_1,a_2,\cdots,a_n,a_{n+1},\cdots\}. \]

这是一个可列集且为\(E\)的子集.

  定理2: 若\(A_n(n=1,2,\cdots)\)为可列集, 则并集\(A=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\)也是可列集.

  证明 只需讨论\(A_i\cap A_j=\varnothing\)的情况. 设

\[A_1=\{a_{11},a_{12},\cdots,a_{1j},\cdots\}, \]

\[A_2=\{a_{21},a_{22},\cdots,a_{2j},\cdots\}, \]

\[\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \]

\[A_i=\{a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{ij},\cdots\}, \]

\[\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \]

则\(A=\{a_{11},a_{21},a_{12},a_{31},a_{22},a_{13},\cdots,a_{ij},\cdots\}\)(规律为\(a_{11}\)排第一, 当\(i+j\gt2\)时,\(a_{ij}\)排第\(n\)位, \(n=j+\sum\limits_{k=1}^{i+j-2}k\))为可列集.

推论: 有理数集\(\mathbb{Q}\)是可列集.

  定理3: 设\(A\)是无限集且其基数为\(\alpha\). 若\(B\)是至多可列集, 则\(A\cup B\)的基数仍为\(\alpha\).

  证明 不妨设\(B=\{b_1,b_2,\cdots\},A\cap B=\varnothing\), 且

\[A=A_1\cup A_2,\quad A_1=\{a_1,a_2,\cdots\}. \]

作映射\(f\)如下:

\[f(a_i)=a_{2i},\quad a_i\in A_1;\quad f(b_i)=a_{2i-1},\quad b_i\in B; \]

  显然, \(f\)是\(A\cup B\)到\(A\)上的一一映射.

  定理4: 集合\(A\)作为无限集的充分必要条件是\(A\)与某某真子集对等.

\(\mathbb{R}\)的基数，不可数集

  通过一一映射\(f(x)=\frac{x+1}{2}\)可知, \([-1,1]\)与\([0,1]\)对等. 因此, 要研究实数集\(\mathbb{R}\)的基数, 只需讨论\([0,1]\)的基数即可.

  定理5: \([0,1]=\{x:0\le x\le 1\}\)不是可数集.

  称\((0,1]\)的基数为连续基数, 记为\(c\)(或\(\aleph_1\)). 易知\(\overline{\overline{R}}=c\).

  定理6: 设有集合列\(\{A_k\}\). 若每个\(A_k\)的基数都是连续基数, 则其并集\(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\)的基数是连续基数.

  定理7(无最大基数定理): 若\(A\)是非空集合, 则\(A\)与其幂集\(\mathscr{P}(A)\)不对等.