復變函數筆記

復變函數小結

by婉約在風里

對於復變函數，其重點便在於解析函數這一塊，整個復變函數可以說是圍繞着解析函數來進行論述的，解析函數的定義——在某一點鄰域所有點可導的函數，稱之為解析函數。與此同時，柯西黎曼方程，便順勢而生，這也是一個判斷復變函數是否解析的很好的等價條件。提到導數，一定會有人有疑問，既然，實變函數的導數代表的切線斜率，代表函數值的變化速度，那么復變函數的導數又有什么意義呢？其實，這里的幾何意義很明顯，導數的模的平方就是將復區域(定義域)映射為復區域(值域)的面積之比。這么一想，和實變函數的導數好像沒什么兩樣呀，其實很還是有的，畢竟是區域，和區間還是有差別的，這里不單單會涉及到值，還會涉及到方向，也就是輻角，因此在這方面，會涉及保角映射。這和幾何上面歐氏空間的保角映射和保長映射其實並無兩樣。

之后便是研究解析函數的核心工具——冪級數。和實函數一樣，解析函數也有自己的冪級數展開，而且，解析函數有着和實函數不一樣的性質，復變函數如果在某個區域是解析的，那么他的級數展開收斂圓一定可以延拓到區域邊界。這樣神奇的性質還是要歸功於柯西定理的應用，而柯西定理就像一把鑰匙，打開了解析函數性質研究的大門，使之諸多性質被發掘出來。同樣，反函數的問題，一樣存在於復平面，復平面的特殊性質，使之與實函數的反函數相差很大，i的存在，使得反函數的存在多種多樣，於是導出了多值函數，其根源就在於輻角的變化，如果將定義域的輻角限制到，0到$\pi$，便會使得很多多值函數變為單值函數。

此后，我們得到了解析函數的定義，以及研究解析函數的工具，我們便可以對其開始研究啦。我們說到冪級數，便會想到冪級數的系數從何而來，這里我們用到了柯西積分公式，並簡單的交換了級數和積分的順序，便得到了冪級數展開式，而系數也很容易和導數聯系起來，至此我們也變得到了解析函數求其n階導數的公式。從而，我們得到了，柯西不等式， 零點孤立原理等等實用的定理。此時，我們需要着重介紹一下一個分析定理在復變函數的應用，也就是開映射定理，因為開映射定理的存在，使復函數不能在開區間映射為閉區間，也就是不能在內點處得到函數的最大模，這就是最大模原理，解析函數在區域的最大值只能在邊界取到，后面的施瓦茨引理等等都是對最大模原理的應用，可以說最大模原理也是復變函數的重點定理，利用這個定理，可以解決很多實際問題，再次不做贅述。

后面，便要學習洛朗級數，也是針對解析函數的非解析奇點部分的級數展開，這樣子，我們便有了去了解亞純函數的工具了。利用洛朗級數的展開特征，我們可以將奇點分為，可去奇點，極點，以及本性奇點。

這時候，常用的解析方法都介紹完畢了，我們要開始將這些應用實際利用我們的問題中去了，其中最為大家所熟悉的方法，便是留數定理的應用。留數定理，本質上是將函數洛朗級數展開后，對每一項進行積分，由於只有次數為-1時，含奇點的單連通區域積分才不為零，我們便可以利用一些特殊方法計算奇點處洛朗展開式的-1次項的系數，進而計算復變積分，與此同時，對於實積分，我們可以將其延拓至復平面，然后進行分析計算，這就是復變函數在實變函數上面的積分的應用，此后還有輻角原理，也算是留數的一個應用，其幾何意義也相當明顯，在此略過。之后的調和函數，嚴格意義上，也算是復變方法在實變函數的應用了。