復變函數筆記\(—(0)前置知識\)

• 函數相關
• 微分初步
• 積分初步

加減乘除、集合相關等默認已知
本篇為前置內容，僅做簡要闡述
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函數相關：

映射：

（基本符號：\(∀\)任意，\(∃\)存在，\(∧\)且，\(∨\)或，\(s.t.\)使得）

 兩個非空集合 \(A~和~B\)，某種對應方式 \(f:A \mapsto B\) 對於 \(∀x∈A\) 滿足：

\[(x \mapsto y_1)∧(x \mapsto y_2) \Rightarrow y_1=y_2 \]

 即不能一個對應多個，則稱該對應方式 \(f\) 為一個從 \(A\) 到 \(B\) 的映射。
 其中 \(A\) 稱為 \(f\) 的定義域，由所有 \(y=f(x)\) 構成的集合 \(f(A)\) 稱為 \(f\) 的值域，其中 \(x∈A\)。如果 \(y=f(x)\)，稱 \(y\) 是 \(x\) 的象，\(x\) 稱為 \(y\) 的原象。

 如果映射 \(f:A \mapsto B\) 對於 \(∀x_1,x_2∈A\) ：

\[f(x_1)=f(x_2) \Leftrightarrow x_1=x_2 \tag{1} \]

\[B=f(A) \tag{2} \]

\(1.\)滿足\((1)\)，即不同輸入一定對應不同輸出，那么稱 \(f\) 為單射；
\(2.\)滿足\((2)\)，即整個 \(B\) 就是 \(f\) 的值域，那么稱 \(f\) 為滿射；
\(3.\)如果既滿足\((1)\)也滿足\((2)\)，即 \(f\) 即是單射也是滿射，那么稱 \(f\) 為雙射。

函數

 當映射 \(f\) 的定義域和值域均為數集時，則稱 \(f\) 為函數。
 函數按組成可簡單分為初等函數和非初等函數，其中初等函數就包括中學就學習了的多項式函數、（反）三角函數、指數函數、對數函數以及它們與常數有限次的有理運算（加減乘除、有理次方）。這類函數都有具體的解析式，研究方式也較為相似。
 而在分析學中，更喜歡將函數按性質分類，其中就有線性、連續、有界、可微、可積等分類。下面將給出其中“有界”和“連續”的概念。

\(\mathbf{1.}\)有界

 如同這明顯的字面意思，函數有界就表示函數值有個范圍，並不是無限的，其數學化的定義是：

\[∃M,m∈\mathbb{R}~s.t.∀x∈A,m≤f(x)≤M \]

 即存在實數 \(M,m\) 使得所有的 \(f(x)\) 都大於等於 \(m\)，小於等於 \(M\)，則稱函數 \(f\) 有界。其中 \(M\) 稱為 \(f\) 的上界，\(m\) 稱為 \(f\) 的下界，上（下）界並不唯一。最小（大）的上（下）界稱為上（下）確界，上（下）確界唯一。

 例如 \(f(x)=\sin(x)\)，通過中學知識就可知道 \(-10≤f(x)≤10\)，所以 \(10\) 和 \(-10\) 是 \(f\) 的上、下界。同樣地，可知 \(2\) 和 \(-2\) 也是 \(f\) 的上、下界，所以上、下界並不唯一。但是在所有的上、下界中，\(1\) 是最小的上界，\(-1\) 是最大的下界，所以 \(1\) 和 \(-1\) 是 \(f\) 的上、下確界，是唯一的。

\(\mathbf{2.}\)連續

 眾所周知，函數是可以用圖象表示出來的（其實只有一元、二元實函數這類可以），那又如同這明顯的字面意思，函數連續就是函數圖象是連續的！（ ？）這種直覺在18世紀可能還真是主流，幸好波爾查諾在19世紀前葉給出了第一個函數連續的恰當數學定義。
 先引出鄰域的概念：任何包含 \(x_0\) 且以此為中心的開集稱為 \(x_0\) 的鄰域，記作 \(U(x_0)\)。由此可見，鄰域並不唯一（除非給定鄰域半徑）。
 較廣泛的函數連續的鄰域定義：

\[\begin{align} &y_0=f(x_0),y=f(x) \notag \\ &∀U(y_0),∃U(x_0)s.t.∀x∈U(x_0),y∈U(y_0) \notag \end{align} \]

 即無論 \(y_0\) 周圍多小的范圍，都有一個 \(x_0\) 周圍對應的區域，使得該區域里的點的象都在 \(y_0\) 周圍那個小范圍里，則稱 \(f\) 在 \(x_0\) 點連續。另一種等價但不嚴謹的說法為：自變量變化無窮小，因變量也變化無窮小。

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微分初步

微分

 在研究函數時，通常需要研究其增速，而在研究增速時，分為平均和瞬時（“時”似乎不准確）。對於平均，采取的方法是 \(\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\)，而對於瞬時，采取的方法是 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\)，對於這種趨於 \(0\) 的增量，稱之為微分，定義：

\[df(x)=f(x+dx)-f(x) \]

 稱為 \(f\) 的微分，\(d\) 等價於趨於 \(0\) 的 \(\Delta\)。

導函數

 由微分的定義可以看出，\(f\) 的微分與 \(f\) 和 \(dx\) 有關，即 \(df=G(f,dx)\)。又因為 \(df\) 和 \(dx\) 都是趨於 \(0\) 的，所以可以用與 \(dx\) 有關的線性函數（可理解為一次函數）去逼近 \(df\)，即：

\[df=L(f)·dx+o(dx) \]

 \(o(dx)\) 是 \(dx\) 的高階無窮小，於是將線性近似的系數 \(L(f)\) 稱為 \(f\) 的導函數，記作 \(f'\) 或 \(\frac{df}{dx}\)。所以從某種意義上說，微分是一種線性近似，導函數則是線性近似的系數。

 在這里給出 \(f(x)=e^x\) 的導數求法，其余請自行掌握。
 首先看到極限：

\[\begin{align*} \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}&=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}·\ln(1+x) \\ &=\lim\limits_{x \to 0} \ln(1+x)^{\frac{1}{x}} \\ &=\ln(e) \\ &=1 \end{align*} \]

 對此進行換元 \(t=\ln(1+x)\)，所以 \(\frac{\ln(1+x)}{t}=1\)，且又因為 \(\ln(1+x)\) 與 \(x\) 為等價無窮小，所以 \(t\) 與 \(x\) 也為等價無窮小，即 \(\lim\limits_{x \to 0}\) 等價於 \(\lim\limits_{t \to 0}\)，最終換元得到：

\[\lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{e^{t}-1}=1 \tag{3} \]

 然后看到 \(f(x)=e^{x}\) 的導數：

\[\begin{align*} \frac{df(x)}{dx} & = \frac{e^{x+dx}-e^{x}}{dx} \\ & = e^{x}·\frac{e^{dx}-1}{dx} \\ & = e^{x} \end{align*} \]

 最后一步用到了等式 \((3)\)，所以 \(f(x)=e^{x}\) 的導數是其本身。


 不難驗證，微分滿足以下：

\[df(x)=f'(x)dx \]

 這將在積分求解中有很大運用。

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積分初步

不定積分

 數學中，很講究一種對稱，對於運算就體現在如同加減、乘除這樣的逆運算。對於微分運算，也定義了一種逆運算\(—\)不定積分：

\[∫df=f+Const \]

 容易驗證，\(f\) 加上一個常數的微分等於 \(f\) 的微分，所以等式右邊加上了常數。不定積分是求微分所有的原函數，故得出的結果為一個函數族（即一堆函數）。

 不難證明，微分滿足 \(df(x)=f'(x)dx\)，所以對於上面的函數 \(f(x)=e^{x}\) 有：

\[∫de^{x}=∫e^{x}dx=e^{x}+C. \]

 和微分一樣，一些運算技巧請自行掌握。

定積分

 定積分從形式上看就是對求和的連續化，其定義可以是：

 把閉區間 \(I\) 分割為若干不相交的區間 \(I_{i}\)，其中 \(t_{i}∈I_{i}\) 且 \(ρ(I_{i})\) 表示 \(I_{i}\) 的測度（例如若 \(I∈\mathbb{R}^{2}\) 其測度可以為面積），然后把：

\[\int_{I}f(x)dx=\lim_{max\{ρ(I_{i})\} \to 0} \sum_{i}f(t_{i})·ρ(I_{i}) \]

 的極限稱為函數 \(f\) 在閉區間 \(I\) 上的定積分。

 即要求分割后的區間里，最大的測度趨於 \(0\)（相當於所有 \(I_{i}\) 測度都趨於 \(0\) 了），再把 \(f(t_{i})·ρ(I_{i})\) 求和，這個極限就是定積分，所以與不定積分不同，定積分的本質是一個數。
 對於簡單的一元實函數，測度取區間的長度，定積分表示的就是該區間上函數圖象與\(x\)軸圍成的面積。若是二元實函數，測度取區間面積，定積分則是在區間 \(I\) 上函數圖象與\(xoy\)平面圍成的體積。
 定積分具體的計算還是和微分有關，而聯系起微分和積分的就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茨公式：

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)，其中~dF=fdx \]

 但是發展了這么久都微積分，定積分早已不只有這么簡單，微分形式的多樣造就了積分的多樣，這里簡單介紹復變函數里會用到的兩種形式。

\(\mathbf{1.}\)二重積分

 二重積分就是上面提到過的對於二元實函數，測度取面積的積分。其形式為：

\[\iint_{D}f(x,y)dσ \]

 其中 \(D\) 為積分區間，\(dσ\) 為面積微元，也可寫作 \(dxdy,(dx∧dy)\)（后者為外微分）。

 其計算就是代入上下限當做兩個積分依次算，例如：

\[\iint_{D}xy-x^{2}dxdy \]

 其中 \(D\) 為 \(y=x\) 和 \(y=x^{2}\) 圍成的區域：

 這里最主要的就是確定積分順序，若是先積 \(y\) 再積 \(x\)，就要按照這個去確定上下限，然后依次積分。如對 \(y\) 積分時，可把 \(x\) 看作常數：

\[\begin{aligned} \iint_{D} x y-x^{2} d x d y &=\int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{x} x y-x^{2} d y \\ &=\int_{0}^{1} \frac{1}{2} x y^{2}-\left.x^{2} y\right|_{x^{2}} ^{x} d x \\ &=\int_{0}^{1} \frac{1}{2} x^{2}-\frac{3}{2} x^{3}+x^{4} d x \\ &=\frac{1}{6} x^{3}-\frac{3}{8} x^{4}+\left.\frac{1}{5} x^{5}\right|_{0} ^{1} \\ &=-\frac{1}{120} \end{aligned} \]

 具體計算還是請自行掌握，這不是本篇重點。

\(\mathbf{2.}\)第二類曲線積分

 在物理中第二類曲線積分應用較多，用於求在力場中沿某曲線運動所做的功，其數學形式為：

\[\int_{L} \vec{F}·\vec{ds}=\int_{L}Pdx+Qdy \]

 其中 \(\vec{F}=(P,Q)\)，\(L\) 為積分區域，是有向曲線段。若 \(L\) 為閉合曲線，積分號寫作 \(\oint\)。

 其計算就是找到一個獨立變量把 \(x\) 和 \(y\) 寫作參數方程的形式，然后化成普通的積分計算。

 例如積分：

\[\int_{L} -\sqrt{x^{2}+y^{2}}·x·dx-\sqrt{x^{2}+y^{2}}·y·dy \]

 其中積分區域 \(L\) 為：\(\frac{(x-1)^{2}}{2}+y^{2}=1,y≥0\)，方向為逆時針，即：

 對於這個積分區域，可以寫作：

\[\left\{\begin{array}{l} x=\varphi(\theta)=\sqrt{2}·\cos \theta+1 \\ y=\psi(\theta)=\sin \theta \end{array}\qquad\theta \in[0, \pi]\right. \]

 於是對於原積分就可以寫作：

\[\begin{aligned} &\int_{L}\sqrt{x^{2}+y^{2}}·x·dx-\sqrt{x^{2}+y^{2}}·y·dy \\ =&\int_{L}-\sqrt{\varphi^{2}+\psi^{2}} \varphi·d\varphi-\sqrt{\varphi^{2}+\psi^{2}}\psi·d\psi \\ =&\int_{0}^{\pi}-\left(\varphi·\varphi'+\psi·\psi'\right)·\sqrt{\varphi^{2}+\psi^{2}}·d \theta \\ =&\int_{0}^{\pi}-[-(\sqrt{2}·\cos \theta+1)·\sqrt{2}·\sin \theta+\sin \theta·\cos \theta]·\sqrt{\cos ^{2} \theta+2 \sqrt{2} \cos \theta+2}·d \theta \\ =&\int_{0}^{\pi}(\cos \theta\sin \theta+\sqrt{2}·\sin \theta)(\cos \theta+\sqrt{2})·d \theta \\ =&\int_{0}^{\pi}(\cos \theta+\sqrt{2})^{2}·\sin \theta·d \theta \end{aligned} \]

 這樣就把第二類曲線積分化成了普通的積分，並且這積分也並不難，做一步換元就可以：

\[\begin{aligned} &\int_{0}^{\pi}(\cos \theta+\sqrt{2})^{2}·\sin \theta·d \theta \\ =&\int_{-1}^{1}(t+\sqrt{2})^{2} d t \\ =&\frac{1}{3} t^{3}+2 t+\left.\sqrt{2}·t^{2}\right|_{-1} ^{1} \\ =&\frac{14}{3} \end{aligned} \]

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 以上就是本篇全部內容，為一些復變函數的基本前置內容。
 寫於2022年1月31日大年二十九，祝各位新年快樂。