定義
- 鄰域：是開集
- 區域：也是開集；閉區域才是閉集
- 區域單連通和多連通：取決於中間有沒有洞，無就是單連通。通常把多聯通的轉化為單連通來解決問題。
- 內點：某個點存在鄰域全在某區域內。同理還有 外點，邊界點
- 簡單曲線（若當曲線）：中間沒有任意兩點重疊的曲線。
- 簡單閉曲線（若當閉曲線）：簡單曲線首尾相接，，，拓撲一下是個圈
- 復變函數$w=f(z)$ 實質上是兩個二元實變函數$ u(x,y),v(x,y) $一個復變函數對應兩個二元實變函數，兩個二元實變函數也對應着一個復變函數。
可導與解析
- 復變函數導數和微分的概念沿用實變函數
- $f(z)=u(x,y)+v(x,y)z$ ，$f(z)$解析➡$u(x,y),v(x,y)$可導，反之不成立（反例超多）。所以看起來形式很簡單的復變函數，它可能是不解析的。處處不解析的復變函數很多，但是處處不可導的實變函數很少遇到。
- 解析：在某點的鄰域內處處可導則解析，（那樣的話在這個鄰域內都是解析的）。
- 奇點：在某個點可導，但是不解析
- 有理函數解析
- 某些函數解析，他們的四則運算解析
在區域D解析的充要條件
- $f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ ①$u,v$在區域D上可微②$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} $ 且 $\frac{\partial u}{\partial y} =- \frac{\partial v}{\partial x}$
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- 一般二元函數的導數：$\frac{ u(x+\Delta x,y+\Delta y)-u(x,y) } { \Delta x^2+\Delta y^2 }$
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- 關於第二個的證明：$ \frac { f(z+\Delta z)-f(z) } { \Delta z } = \frac { u(x+\Delta x,y+\Delta y)+v(x+\Delta x,y+\Delta y)i-(u(x,y)+v(x,y)i) } { \Delta x +\Delta yi } $光看實部或者光看虛部
積分
定義
- 在曲線c上積分：是否有積分取決於函數是否在曲線上連續，（注意在曲線上連續 ≠ 在該點連續，函數可能處處不連續但是在曲線C連續，因為在曲線c上連續是指函數沿着該曲線逼近一個點時函數值逼近該點函數值，而在該點連續時從任何方向逼近該點極限需要相等且等於函數值）
- 定義同普通積分定義，分成很多小段然后小段值乘以小段函數值
- 形式上與第二類曲線積分很相似 $(u+vi)*(dx+dyi)=udx-vdy+(vdx+udy)i$
- 如果$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ ，則積分是 $ \int udx-vdy+i \int vdx+udy $
柯西積分定理
柯西-古薩定理
- 函數$w=f(z)$在閉區域D上解析，則在該區域上任何一條閉合曲線積分為0（嚴格證明是個坑，以后添上）
復合閉路定理
- 遇到多聯通區域時候，一條曲線里面包了很多小曲線，它們中間的區域解析，則$\Gamma$為所有的曲線，$\Gamma$這個的積分是0，可以通過中間畫線來證明