【復變函數】1. 輻角原理

這篇關於輻角原理的小文章節選自2020年秋學期數理方法I課程的小論文，節選部分簡略介紹了這個有趣的定理，主要參考資料為中科大龔昇老師的《簡明復分析》。我用這個節選片段來測試一下博客園發布新隨筆的功能。

 

輻角原理是復變函數論中有關留數理論的一個定理，由它可以得到關於線性控制的Nyquist穩定判據。

輻角原理內容

定理（輻角原理） 設 \(f(z)\) 是域 \(U\) 上的亞純函數^[1]， \(\gamma \subset U\) 為一條正定向簡單閉曲線，且在\(U\)中可以連續地縮成一個點，

已知 \(f(z)\) 在 \(\gamma\) 內有有限個零點，零點的個數記為 \(N(f,\gamma)\)（ \(k\) 階零點算作 \(k\) 個零點），且 \(f(z)\) 在 \(\gamma\) 內有有限個極點，極點的個數記為 \(P(f,\gamma)\)（ \(k\) 階極點算作 \(k\) 個極點）。

​令復變函數 \(f(z)\) 的宗量 \(z\) 沿 \(\gamma\) 正定向^[2]繞行一圈，將 \(w=f(z)\) 的輻角變化記為 \(\Delta_\gamma( Arg(w))\) ，則有：

\[N(f,\gamma)-P(f,\gamma)=\dfrac{1}{2\pi}\Delta_\gamma( Arg(w))=w 繞零點逆時針轉動的圈數 \]

這個定理被稱為輻角原理。

輻角原理的證明

​證明 設 \(f(z)\) 在 \(\gamma\) 內有階數各為 \(n_k\) 的零點 \(z_k\)（ \(k=1,2,\cdot \cdot \cdot,n\) ），階數各為 \(p_j\) 的極點 \(u_j\)（ $ j=1,2,\cdot \cdot \cdot,p$ )，以每個零點為圓心，作圓 \(\gamma_k\) （ \(k=1,2,\cdot \cdot \cdot,n\) ），使得 \(\gamma_k\) 都在 \(\gamma\) 內部，但互不相交；又以每個極點為圓心，作圓 \(C_j\) （ \(j=1,2,\cdot \cdot \cdot,p\) ），使得 \(C_j\) 都在 \(\gamma\) 內部，但互不相交。於是，由 Cauchy 積分公式得

\[\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\dfrac{f'_i(z)}{f_i(z)} = \dfrac{1}{2\pi i}\int_{\Sigma \gamma_k+\Sigma C_j}\dfrac{f'_i(z)}{f_i(z)} \]

由於 \(f(z)\) 在 \(z=z_k\) 處為 \(n_k\) 階零點，於是在 \(\gamma_k\) 中，\(f(z)\) 可以寫為

\[f(z) = (z-z_k)^{n_k}h_k(z) \]

其中， \(h_k(z)\) 不恆為零。於是

\[\dfrac{f'(z)}{f(z)}=\dfrac{n_k}{z-z_k}+\dfrac{h'_k(z)}{h_k(z)} \]

這就得到

\[\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_k}\dfrac{f'(z)}{f(z)}dz=n_k \]

又由於 \(f(z)\) 在 \(z=u_j\) 處為 $p_j $ 階零點，於是在 \(C_j\) 中，\(f(z)\) 可以寫為

\[f(z) = (z-u_j)^{p_j}g_j(z) \]

其中， \(h_k(z)\) 不恆為零。於是

\[\dfrac{f'(z)}{f(z)}=-\dfrac{p_j}{z-u_j}+\dfrac{g'_j(z)}{g_j(z)} \]

這就得到

\[\dfrac{1}{2\pi i}\int_{C_j}\dfrac{f'(z)}{f(z)}dz=-p_j \]

故

\[\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\dfrac{f'_i(z)}{f_i(z)}=\sum^n_{k=1} n_k-\sum^p_{j=1}p_j=N-P \]

​ 記 \(w=f(z)\) ，又記 \(z=z(t)\) （\(t\in [a,b]\)）是\(\gamma\) 的與定向相符的參數表示，\(w(t)=f(z)\)，則有

\[N(f,\gamma)-P(f,\gamma)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{dw}{w(z)} \]

這里， \(\Gamma\) 為 \(\gamma\) 在\(w=f(z)\)映射下的像， \(\displaystyle\int_\Gamma \frac {dw}{w}=\int_{t_1}^{t_2} \frac{dw(t)}{w(t)}\)

​ 設 \(w=Ae^{i\phi}\) ，代入上式，得

\[\begin{aligned} N(f,\gamma)-P(f,\gamma)&=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \dfrac{dw}{w(z)}\\ &=\dfrac{1}{2\pi i}[ln\dfrac{A_2}{A_1}+i(\phi_2-\phi_1)]\\ &=\dfrac{1}{2\pi}(\phi_2-\phi_1)\\ &=\frac{1}{2\pi}\Delta_\gamma (Arg (w)) \end{aligned} \]

其中 \(\Delta_\gamma( Arg(w))\) 表示當 \(z\) 沿着 \(\gamma\) 上正向繞行一圈時， \(w\) 在 \(\Gamma\) 上的輻角變化。這說明當 \(z\) 沿着 \(\gamma\) 的正方向轉動一圈時，\(w = f(z)\) 在 \(\Gamma\) 上沿正方向繞原點轉動的總圈數，恰好等於 \(f\) 在 \(\gamma\) 內的零點個數 \(N\) 與極點個數 \(P\) 之差。證畢。

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1. 亞純函數，即一個在域 \(U\subseteq C\) 上有定義，並在除一個或若干個孤立點集合之外的區域處處解析的函數，這些孤立點稱為極點。 ↩︎

2. 正定向指前進時點集在左側的前進方向，此處正定向實為逆時針方向。 ↩︎