剛 看了一下 復變函數 黎曼曲面 流形 復流形 仿射空間 射影空間， 可以說， 這些 是 柯西 黎曼 等 數學家 拿着 代數方程 和 復根 可勁 的 玩， 玩出來的 一堆 東西 。
就像是 發明出了 一堆 兒童玩具 。
誰說不是呢？ 把 復數 放到 二維平面（坐標系） 里， 虛部 一個 坐標軸， 實部 一個 坐標軸， 可以構成 向量， 也可以構成 曲線，
自變量 如果是 實數， 就是 一維 的， 因變量 是 復數， 就是 二維 的， 加起來， 就是 一個 三維 “空間” ，
如果 是 多值函數， 就是說 有 多個 因變量， 每個 因變量 2 維， n 個 因變量 就有 2n 維 ，
於是， 一個 “n 維 空間” （高維空間） 就 誕生 了 。
好了， 代數方程 、復根 、n 維空間 這就是個 框架， 框架 搭好了， 就可以 盡情 的 玩耍 了 。
對 代數方程 和 復根 的 研究 是 需要 的 ， 但是， 從 玩法 上來看， 復變函數 黎曼曲面 流形 復流形 仿射空間 射影空間 代表的 玩法， 是 一種 典型 的 西方思維， 也是 西方特色 。
東方 的 空間幾何 和 高維空間， 不是 這樣 的， 不是 這樣 玩 的 。 這部分 也許 我會在 《古中國 架空歷史 數學 發展脈絡》 中 有一些 描繪 。
《古中國 架空歷史 數學 發展脈絡》 是 前段時間 產生了 構思 打算 寫 的 一篇文章， 現在 還沒有 寫 。
親生姐兒 姐兒 大師 的 工作 似乎 就是 富有 東方特色 的 空間幾何 和 高維空間， 似乎 可以看到 數學 的 新的 未來 。
我也許也會在 近期 發表 東方 的 空間幾何 和 高維空間 相關 的 想法 和 內容 。
西方， 追求 抽象， 東方， 注重直觀 。 東方 高度重視 事物 的 本質 和 本體 。
西方 習慣於 發展 抽象 來 揭示 事物 的 本質 和 本體 。
東方 則 相信 直觀 和 邏輯思辨 來 判斷 和 發現 事物 的 本質 和 本體 。
東方 一邊 追求 “圓滿”， 一邊 還 注重 實用， 這也許有點 世俗， 但 也 不乏 理想主義 。 一個 優美和諧 的 理論存在， 必然 指導着 宇宙萬物， 當然 也能 指導 生產生活， 這就是 東方 實用 和 理想 並重 的 理想主義 。
我擔心， 代數方程 、復根 、復平面 、復空間 、n 維空間 被 數學家 們 這樣 可勁 的 玩， 玩了 200 多年， 會不會 玩壞了 ？
skywalkerwyj （青蓮劍歌） 小青蓮， 你學了多少了呢 ？
所以， 復變函數 黎曼曲面 流形 復流形 仿射空間 射影空間 …… 總之， 代數幾何， 沒有什么高深的， 你就在 代數方程 、復根 、復平面 、復空間 、n 維空間 上 可勁 的 玩， 可勁 的 玩， 可勁 的 玩 …… 玩個 幾十年， 多少也能 玩出點 名堂 來吧 ？
黎曼 先生 的 玩法 就 很大膽， 也頗有趣味 。 對於 多值函數， 他 把 坐標軸 裁剪合並， 把 自變量 相同的 多個 函數值 （方程的根， 在 各自 的 坐標軸 上） 在 各自 的 函數曲線 上 的 點 用 直線線段 連起來， 這樣 就 造成了 “扭曲” 的 曲面， 這就是 黎曼曲面 。
可以看到， 這其實 是 一個 兒童剪紙 。
如果 我們 用 剪紙 剪貼 出 一個 形狀， 然后對 某人 說 ： “喂， 你 來 研究研究 這個 形狀（曲面） 吧 ！”
你會發現 事情 出奇 的 簡單， 一點兒 也不高深 。
而， 可以知道， 對於 多值函數， 一個 自變量 對應 n 個 函數值， 設 自變量 是 1 維， 每個函數值 也是 1 維， 那么 自變量 和 n 個 函數值 可以 構成 n + 1 維 空間， 對於 某個 定義域 內 的 自變量， 自變量 和 函數值 可以 構成 定義域 內 的 一條 n + 1 維 空間曲線 ， 這也就是 函數曲線 。
那么， 請問大家， 研究 曲線簡單， 還是 研究曲面 簡單 ？ 如果 是 你， 要研究 這個 多值函數， 你會選擇 研究 我剛剛說 的 這個 曲線， 還是 黎曼曲面 ？
所以， 黎曼先生 提出 的 黎曼曲面， 基本上 是 娛樂性質 的 。
但是， 黎曼先生 創作 的 這些個 題材， 擴充了 數學的市場， 拉動了 數學的內需， 提供了 數學的就業崗位， 這個 倒是 真的 。
黎曼先生 頗具 匠心， 給我們留下了 一些套 有趣 的 剪紙方法 和 思路， 讓我們能夠 創作 和 欣賞 充滿 數學之美 、邏輯美 、理性美 、科幻美 的 美麗曲面， 這也是 一種 享受 啊 ！
實際中 的 黎曼曲面 比 上面說的 要 復雜一些， 設 有 一個 方程 f ( x, z ) = 0 ， 對於 一個 x， z 有 2 個 復根， 記為 z1 、z2， 則 z 是 x 的 二值函數 。
z1 是 x 的 函數， 可以記為 z1 = Z1 (x) ， z2 是 x 的 函數， 可以記為 z2 = Z2 (x) 。
z1 是 復數， 是 二維 的， 實部 一個 維度， 虛部 一個 維度， 也可以說 實部 占一個 坐標軸， 虛部 占一個 坐標軸 。 z2 也是 同樣 。
則， x 和 z1 可以 構成 一個 三維空間， x 和 z2 也可以 構成 一個 三維空間 。
把 這 2 個 三維空間 合並 到一起， 共用 一個 x， 則 x, z1, z2 可以 構成 五維空間 。
設 z1 = a1 + b1 i ， z2 = a2 + b2 i 。
x 和 a1 在 x-a1 平面 上 構成了 一條 二維曲線， 記為 A1， x 和 b1 在 x-b1 平面 上 構成了 一條 二維曲線， 記為 B1，
x 和 a2 在 x-a2 平面 上 構成了 一條 二維曲線， 記為 A2， x 和 b2 在 x-b2 平面 上 構成了 一條 二維曲線， 記為 B2，
接下來 我們 可以這樣， 把 A1 和 B1 上 x 相等 的 點 用 直線線段 連起來 。 對於 一個 x， 在 A1 上 有一個 點 對應， 在 B1 上 也有 一個點 對應， 所以， A1 B1 上 x 相等 的 點 是 一一 對應 的 ， 把 這些點 兩兩 用 直線線段 連起來， 可以構成 一個 A1 B1 之間 的 曲面， 記為 A1B1 。
同樣， 把 A2 和 B2 上 x 相等 的 點 用 直線線段 連起來， 可以構成 一個 A2 B2 之間 的 曲面， 記為 A2B2 。
還可以， 把 A1 和 A2 上 x 相等 的 點 用 直線線段 連起來， 可以構成 一個 A1 A2 之間 的 曲面， 記為 A1A2 ，
把 B1 和 B2 上 x 相等 的 點 用 直線線段 連起來， 可以構成 一個 B1 B2 之間 的 曲面， 記為 B1B2 ，
可以發現， A1B1, A2B2, A1A2, B1B2 這 4 個 曲面 相互之間 連起來了， 連成了一個 整體， 這個 整體 是 一個 五維 的 面， 稱為 黎曼曲面 。
不過 4 個 曲面 連接 的 “交界處” 似乎 不是 光滑 的 。
因為是 五維面， 事實上 我們 無法 直觀 的 想象， 所以 要 把 五維面 的 “一部分” 放到 三維空間 里 來 看 。
怎么放呢 ？ 比如， 用 一個 平面 和 球面 相交， 在 平面 上 得到 一個 圓， 這個 圓 就是 三維球面 在 二維平面 上 的 “部分”， 也可以說 是 三維球面 在 二維平面 里 的 觀察結果 。
同理， 可以 單獨 看 A1B1， A1B1 是一個 三維曲面， 可以 “單獨” 放到 三維空間 里 來 看 。
同理， 可以 單獨 看 A2B2, A1A2, B1B2 。
又或者， 像 平面 和 球面 相交一樣， 可以用 一個 三維空間 和 五維面 相交， 得到 一個 三維形狀， 這也是 五維面 在 三維空間 的 “部分”， 或者說， 三維空間 里 對 五維面 的 觀察結果 。
這種方法 可以 通過 不同 的 “相交角度” 得到 不同 的 三維形狀， 或者說 不同角度 的 觀察結果 。
O 了 。 其實 這只是 一種 玩法 。
還可以這樣玩， x, a1, b1 構成了 一條 三維曲線， 記為 C1， x, a2, b2 構成了 一條 三維曲線， 記為 C2 。
把 C1 和 C2 上 x 相等 的 點 兩兩 用 直線線段 連起來， 也可以 構成 一個 五維曲面 。
也可以 讓 a1, a2 共用 一個 坐標軸 a， b1, b2 共用 一個 坐標軸 b， 這樣， C1, C2 就可以 同時出現在 一個 三維空間 里， 把 C1, C2 上 x 相等 的 點 兩兩 用 直線線段 連起來， 構成 的 是 一個 三維曲面 。
看起來， DNA （脫氧核糖核酸） 的 雙螺旋結構 是 黎曼曲面 的 遠祖 啊 。
也可以 讓 a1, b2 共用 一個 坐標軸， a2, b1 共用 一個 坐標軸， 構成 C1, C2， 再把 C1, C2 上 x 相等 的 點 兩兩 用 直線線段 連起來， 構成 一個 三維曲面， 這 …… 是個 神馬玩意 ？
So 。 其實 這些 是 我 猜 的， 實際 的 黎曼曲面 是不是 這樣 ？ 不知道 。
所以， 只要 掌握了 這些 竅門， 你就可以 可勁 的 玩， 去構造， 去剪切， 去連通， 什么 管 啊， 環 啊， 圈 啊， 歧管 啊 …… 都可以 構造 出來 。
構造 出 這些 形狀 、“零件” 干什么 ？ 研究唄， 看能不能 研究 出 一些 定理， 來解決一些 難題 什么的，
比如 黎曼曲面 上 發現了 三體 的 運動規律 ……
又或者 黎曼曲面 上 發現了 新的 積分方法， 或者 級數 ……
又或者 黎曼曲面 上 發現了 素數公式 ……
又或者 黎曼曲面 上 發現了 通用 的 泛函方法， 被 廣泛使用 ……
代數幾何 是 數學 的 分支 中 最抽象， “數學性” 最 “純” 的 ， 所以， 代數幾何 是 “純數學” 的 代表， 也是 當今 最熱門 的 數學領域 。
在 微積分 大廈 建成 后， 數學 就 開始 向 純數學 發展， “數學氣氛” 漸濃， 由 代數方程 、復根 構成的 光怪陸離 的 復空間 和 流形 首當其沖 做了 領頭羊，
代數幾何 是 一個 代表， 微積分 和 線性代數 互補有無， 結合 產生了 后代 —— 泛函， 泛函 一出生， 就 身披 華麗 的 由 奇怪的 數學符號 和 術語 織成的 外衣， 令人 眼花繚亂， 對 科學 敬服 。
再加上 一個 拓撲， 拓撲 有點像 平面幾何， 又有點像 線性空間幾何， 又有點像 解析幾何， 又像集合論， 又或是 從 這幾者 中 抽出一些 簡單 的 部分 拼湊而成 。
不得不說， 這三者 的 科幻感 很強 。 這三者 指 代數幾何 、泛函 、拓撲 。 事實上， 我在看 代數幾何 資料的時候， 經常會 看到 拓撲 。
從 營銷的角度 來看， 這三者 是 成功 的， 它們 滿足了 人們 對於 科學 和 數學 的 想象 和 好奇， 讓 人們 感到 神秘 和 崇拜， 也讓 人們 興奮 、幻想， 幻想 科學 的 魅力 和 魔力 。
代數幾何， 作為 純數學 的 代表， 作為 數學 向 抽象 發展 的 集中體現， 為 愛好 數字符號 的 人們 營造了 一個 樂園， 但也 僅此而已 。
從 幻想 、興奮 、喧鬧 、狂歡 中 退下來， 實際上， 數學 的 實際能力 還停滯 在 二體 、三體 、傅里葉級數的證明 、最速降線 。
這些 是 什么水平 ？ 這是 近代 的 水平 。
現在 數學 發展到了什么 階段 ？ 數學 已經發展到了 后現代， 以 代數幾何 為代表 的 純數學 抽象數學 迅猛發展， 已經將 數學 帶入了 后現代 時代 。
后現代 和 近代 之間 還 隔了一個 現代 。 So 。
數學 的 實際能力 在 純數學 和 抽象數學 的 大發展 的 浪潮 中 被 忽略 了 。 另一方面， 也被 計算機 悄然 的 替代 了 。
我剛 看了一下 拓撲 的 資料， 可以這么說， 拓撲， 是 很簡單的， 也是 頗有 趣味性 的， 拓撲 是 一門 幼兒園 、小學生 、初中生 的 課程 。 就像 我一直有個 想法， 四色定理 是 一個 小學生 拼圖題 。
不過 現實中， 拓撲 初接觸 時 會 看到 一些 直觀 的 圖形 和 問題 什么的， 進一步 學習 卻 會 突然 接觸到 一堆 不知所雲 的 高深 、抽象 的 數學概念 、符號 、數學語言 。 讓 很多人 立刻 體驗到 數學 、現代數學 、現代科學 的 “高深” 、“前沿” 、“超出一般人的想象” 。
其實根本不是那么回事， 數學 、現代數學 、現代科學 沒什么 高深， 也沒什么 前沿 。 你看到的 拓撲 里 難懂 的 那一堆 符號 是 代數拓撲 。
看起來， 現在， 代數拓撲 是 拓撲 的 主流 和 前沿， 和 代數幾何 一樣， 代數拓撲 也是 數學 的 主流 和 前沿 。
代數拓撲 和 代數幾何 一樣， 是 基於 抽象代數 的， 所以 “數學氣氛” 很濃， “數學性” 很 純 。
事實上， 拓撲 是 一個 概念， 是 一個 學科， 百度百科 “拓撲” 詞條 這樣說 “拓撲是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀后還能保持不變的一些性質的一個學科。它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。”
其實 拓撲 就是 一個 研究 形狀 的 性質 的 學科， 但 百度百科 的 定義 又說 “不考慮它們的形狀和大小” ， 這就沒辦法了， 大家自己去 理解 吧 。
所以， 由 拓撲 的 定義出發， 只要 是 研究 “形”， 就是 拓撲， 所以， 你可以使用 各種 數學工具 來 研究 “形”， 比如 平面幾何 、解析幾何 、微積分 、數學分析 、集合論 、代數方程 、三角函數 …… 還可以用 物理定律 、原子結構 …… 太陽系結構 、銀河系結構 、細胞結構 …… 物理 化學 語文 生物 仿生學 …… 各種學科， 各種方式 來 研究 拓撲 。
代數拓撲 和 代數幾何 一樣， 制造了 太多 的 概念 和 形式， 以 “流形” 這個 概念 為例， 流形 這個 概念 根本 不必存在 。
上文也說了， 這是 西方特色， 也是 純數學 的 特色 。
不過 我們 完全 可以 按 我們 東方 的 習慣 來 搞一個 不同 的 玩法， 直觀 而 實用 的 玩法， 而且 簡潔明快 。
就是說， 我們 可以 按照 東方 的 特色 來 研究 拓撲 。
比如， 我們 可以 按照 東方 的 思維 來 定義 一個 “一般的形狀”， 把這個 定義出來了， 就知道 為什么 “流形” 是 不需要 的 了 。
進一步， 研究 “形” 的 性質 很難嗎 ？ 我們 有 平面幾何 解析幾何 空間幾何 微積分 集合論 線性代數 這些 強大 的 數學工具， 難道 還有 什么 “形” 的 問題 是 研究不出來的 ？
這就是 東方 的 思維 。
我一直覺得， 拓撲 的 標准受眾 是 小學生 和 初中生， 高中生 可以 玩一些 高級玩法， 大學生 嘛， 掌握了 原理 可以直接用 計算機 解題 了 。
黎曼曲面 是 代數幾何，
黎曼流形 是 微分幾何，
黎曼幾何 是 微分幾何，
黎曼度量 是 微分幾何，
黎曼猜想 是 代數幾何 和 數論 ，
黎曼聯絡 是 黎曼 去世后 差不都 50 年， 由 列維 - 齊維塔 提出的 。
還有 黎曼積分， 不知 是 什么 東東 。
我以為 只要是 帶了 “黎曼” 的， 就是 同一類 東西， 原來不是 ……
流形， 是 每個點 的 性質 都可以 不一樣， 可以 “自定義” 的 “形”， 難怪 叫 “流形” 。
以 軟件設計 的 眼光 來看， 流形 是一個 過度設計， 接口 滿天飛， 適配器 滿天飛 的 系統 。
流形 是 每一個 對象 都是 “可配置” 的， 對象 的 每一個 屬性 方法 都是 “可配置” 的， 有 哪些 屬性 和 方法 也是 “可配置” 的， 每一樣 東西 從頭到腳 都是 “可配置” 的 。
在 軟件界， 這就是 傳說中 的， 無限靈活度， 一切皆可配置 的 萬能系統引擎 。 就像 兒童 玩的 萬能積木 。
在 公司 里， 設計 出 這樣 的 系統， 會 被 老板 罵死 。
還好， 還好， 流形 是 數學， 是 科學， 不是 軟件項目， 呵呵呵呵 。
張量， 是一個 “智能向量”， 好吧， 零階張量 是 標量， 一階張量 是 向量（矩陣）， 二階張量 是 一階張量 的 矩陣， 三階張量 是 二階張量 的 矩陣 ……
張量 有 數據（標量 、向量）， 有方法（線性算子），
聯絡， 像是 一個 映射表，
度規， 相當於 一個 算子， 度規 也是 一種 張量 。
微分幾何 中后期 搞 的 流形 、度規 、張量 、聯絡 、協變 、逆變 這一套， 並不稀奇， 有 一定 數學基礎 和 系統設計 基礎 的 人， 就可以 設計 出來 。 甚至， 還能 設計的 更 “強大” 一些 。
反正也不用考慮 用起來 怎么樣， 可勁 玩 唄， 想怎么設計都行 。 呵呵呵呵 。
以 計算機 語言 為例， 如果 不考慮 性能 、易用性、兼容性 、學習成本， 那么， 當然， 很容易 可以設計 出 一個 “無所不能” 的 “超級語言” 來 。
事實上 度規 是不是 張量 完全 無關緊要， 度規 為什么 不能 是一個 函數 ？ 好吧， 張量 可能 是 一個 萬能袋子， 什么都能 往里塞 ……
坦白講， 這些 不知所雲 的 數學形式 束縛 了 人們 在 科學 和 智慧 上 的 戰斗力 、爆發力 、張力 、生命力 、生產力 。
在 軟件領域， 我也是 這樣 批評 時下 流行 的 “抽象層” 的， 比如 容器 （Docker , Kubernetes） 和 過度發展 的 .Net 和 C# ， 尤其是 .Net CLR 。
我看到 張量 的 應用 好像 跟 物理學 關系 很密切， 除了 廣義相對論 用到， 各種 復雜 的 分析力學 、流體力學 、彈性力學 什么的 也會用到，
這讓 我想起 偏微分方程， 著名 的 數學家 們 留下了 很多 著名 的 偏微分方程， 也是 跟 物理， 尤其 是 力學 有關的，
解出來了 沒有？ 結果 和 實際情況 相符 嗎 ？
同樣， 可以預見， 力學 里面 使用 張量， 效果堪憂 。
有時候會覺得 偏微分方程 有點像 掩耳盜鈴， 又有點像 刻舟求劍， 你以為 你用 ∂ x 、∂ y 、∂ z 就能 忽視 x 、y 、z 三個方向上 的 分量 之間 客觀存在 的 聯系 ？ 嗯嗯嗯 ？
黎曼度量 是 一個 基類， 直角坐標系度量 是 一個 子類， 極坐標系度量 是 一個 子類， 這就想起我們寫程序的時候， 明明只有 2 種 情況， 還搞 一個 基類 出來， 用 2 個 子類 去繼承 ……
當然， 直角坐標系 有 二維 、三維 、四維 …… n 維， 極坐標系 也有 二維 、三維 、四維 …… n 維，
如果 每一種 維數 的 坐標系 算是 一個 度量， 那 相應的， 也可以算 一個 子類， 這樣 可擴充 的 子類 也可以是 無窮個 。
這么說的話， 黎曼先生 才是 設計模式 的 鼻祖 啊 ！