本文是筆者在線看Lektorium上John Morgan在聖彼得堡國立大學歐拉研究所的講座做的筆記。第一講以如下內容組成
1. 黎曼曲面上的聯絡
黎曼流形$(M^n,g)$中，$M$為$n$維流形，而$g$為正定的黎曼度量，即$g_{ij}(x^1,x^2,\cdots,x^n)dx^i\otimes dx^j$，而$(g_{ij})$是對稱正定的。
$\nabla$是聯絡(我們可以把它看成“方向導數”($\nabla_X$為求$X$方向))，它的定義域與值域為$\nabla:Vect(M)\otimes_{\mathbb{R}}Vect(M)\times Vect(M)$，也即將兩個$M$上的向量場映射到$M$上的向量場，即$\nabla_X(Y)\in Vect(M)$.且滿足如下三條性質：
-
線性性，即關於$X$的$f\in C^{\infty}(M)$線性，有$\nabla_{fX+Y}(Z)=f\nabla_{X}(Z)+\nabla_{Y}(Z)$
但是注意到關於第二個值並沒有$C^{\infty}M)$線性，就是$\nabla_X(fY)=f\nabla_X(Y)+X(f)\cdot Y$ - $X(\langle Y_1,Y_2\rangle)=\langle \nabla_X(Y_1),Y_2\rangle+\langle Y_1,\nabla_X(Y_2)\rangle$,這表示“與度量相容”，也就是$\nabla_X(g)=0$.為什么會這樣呢？我們本來想象需要對$Y_1,Y_2$以及$g$分別求“方向導數”，而只有兩項留下來了，也就是對度量求“導數”會恆為$0$.
- 無撓，也就是$\nabla_X(Y)-\nabla_Y(X)=[X,Y]$.這個定義Morgan認為他不是很明白，因為$\nabla_X(Y)$同樣可以定義為$\nabla:Vect(M)\otimes_{\mathbb{R}} \Gamma(E)\to \Gamma(E)$, 其中$\Gamma(E)$是向量叢的截面。而無撓性不能延伸到這個定義域上，因為$\nabla_Y$沒有意義。
滿足如上三個性質的聯絡成為Levi-Civita聯絡。於是我們有如下定理：
定理：Levi-Civita聯絡存在唯一
（筆者按：Levi-Civita可以用$$2\langle \nabla_X Y,Z\rangle= X\langle Y,Z\rangle- Z\langle Y,X \rangle + Y \langle Z,X \rangle- \langle Z,[Y,X]\rangle +\langle [Z,Y],X\rangle -\langle Y,[X,Z]\rangle$$來定義，滿足以上條件）
由於在局部，我們可以用$\partial_i(i=1,2\cdots n)$來張成$T_xM|_U$,我們可以令$\nabla_{\partial_i}(\partial_j)=\Gamma_{ij}^k \partial_k$，(從而我們通過前面知道$$\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2} g^{lk}(\partial_j g_{ki}+\partial_i g_{jk}-\partial_k g_{ij})$$,從而惟一性成立）
2.測地線,高斯映射
$\dot{\gamma}(t)\in T_{\gamma(t)}M$,其中$\gamma(t)=(x^1(t),x^2(t),\cdots,x^n(t))$為$M$上的曲線，$\dot{\gamma}=(\dot{x}^1(t),\dot{x}^2(t),\cdots,\dot{x}^n(t))$為速度。曲率線方程即為$\nabla_{\dot{\gamma}(t)}(\dot{\gamma}(t))=0$。注意到$\nabla$作用在$M$上的向量場上，而$\dot{\gamma}$並非向量場，所以我們需要把$\dot{\gamma}$延拓到全流形上。（筆者按：由於$\frac{d^2 x^k}{dt^2}+\Gamma_{ij}^k \frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}=0$）
由於常微分方程解的存在惟一性，給定了$\gamma(0)$以及$\dot{\gamma}(0)$,我們就得到一條測地線。也就是說，我們能夠構造一個從$T_{\gamma(0)}M\to M$的映射，也即初始向量為此向量的測地線到達的$M$上的點。我們設為$\exp:T_x M\to M$,在起點的領域$B(0,\epsilon)$上有定義。
3.曲率
我們有了零階的信息（度量），一階信息（測地線、聯絡），那么二階信息是什么呢？我們認為是曲率
問題如下：一個度量的幾何性質是怎么樣的（我們能從度量的句子$(g_{ij})$中獲得什么信息）
在單點上，實際上度量沒有任何信息，所有的度量都是等價於標准的歐氏度量，我們可以通過坐標變換把矩陣變成對角陣，從而得到標准度量。
這樣的標准性能到幾階呢？似乎我們只能最多到2階。曲率是唯一的幾何不變量。而有定理:高斯度量完全由曲率決定（也就是局部來說，黎曼曲率包含了所有信息）
我們還沒有定義曲率，曲率定義如下：$R(X,Y)=\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}$,由於Levi-Civita聯絡的定義我們知道$R(X,Y)f=0$成立。
引理：曲率對於$X,Y$關於$C^{\infty}(M)$成立，即$R(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z$,它對$X,Y$反對稱。
奇跡的是，我們可以計算,對於$Z$關於$C^{\infty}(M)$成立，也就是$R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z$。所以我們可以定義4-張量，$\langle R(X,Y)Z,W\rangle$,對於四個變量都是線性的，從而定義$R_{ijk}^l\partial_l=R(\partial_i,\partial_j)\partial_k$。
將符號降下來，可以定義$R_{ijkl}=g_{mk}R_{ijk}^m=\langle R(\partial_i,\partial_j)\partial_l,\partial_k\rangle$.,通過前面我們知道$R_{ijkl}(dx^i\wedge dx^j)\otimes (dx^l\wedge dx^k)$為在$\bigwedge^2 TM$上的對稱2-張量。
黎曼定義的曲率來源於高斯曲率的定義
也就是在曲面上一點附近的測地圓（也就是以$|x|\le \epsilon$為半徑的$T_xM$上的向量用高斯映射映至的區域）和平面上的圓相差多少？高斯認為是
$$\lim_{\epsilon\to 0}12\frac{\pi\epsilon^2-Area(B(p,\epsilon))}{\pi \epsilon^4}$$
定義為高斯曲率（實際上我們通常定義不是這樣的，定義的等價性成為Bertrand–Diquet–Puiseux定理）
此時，$\bigwedge^2 TM=\mathbb{R}$,而黎曼曲率$R:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$僅為乘上高斯曲率。
定理(Cartan)：我們有關於黎曼曲率$R$對於度量$\exp^*(g_{ij}(x^1,x^2,\cdots,x^n))$（被稱為高斯度量）的公式。(Do carmo第八章第2節)
也就是在指數映射$\exp:\mathbb{R}^n\to M$拉回,我們在$T_p(M)=\mathbb{R}^n$原點附近有度量$\exp^*(g)=\hat{g}$。$\hat{g}$有基於$R$的公式。（$\hat{g}$ is identity up to 2-nd order,這句話沒懂是什么意思）也就是度量在坐標變換，也就是同胚群作用的意義下只與黎曼曲率相關。
所以我們可以知道，如果一個度量在某個鄰域內為歐氏度量當且僅當黎曼曲率為0.
最后我們給出Ricci曲率的定義：$Ric_{ij}dx^i\otimes dx^j$為對稱2-張量，有$Ric_{ij}=g^{kl}R_{iklj}$.
4.整體性質
局部來看，在坐標變換的意義下，度量完全被曲率所決定。但是在整體性質卻不一樣，一般來說度量的性質不完全由曲率決定。黎曼流形除了曲率外有更多整體不變量。比如一個范例如下：
對於緊平的曲面（黎曼曲率為0且有界），我們考慮環面$(T^2,g)$,$(\mathbb{R}^2,g)$ 為歐氏空間,萬有覆蓋映射$\pi:\mathbb{R}^2\to T^2$.由於$T^2$的同倫群$\pi_1(T^2)=H_1(T^2)\subset \mathbb{R}^2$是格$\Lambda$.從而$T^2\cong \mathbb{R}^2/\Lambda$為等距同構。
我們就來研究格，格的基為$v_1,v_2$
用復數表示為$v_2=\tau v_1,\tau\in\mathbb{C}$,我們選擇定向，使得$\tau\in \mathbb{H}^2$.而由於在行列式為$1$的整數矩陣變換下格不變，所以$[\tau]\in \mathbb{H}^2/SL_2(\mathbb{Z})\cong S^2-\{\infty\}$.同時$\mathbb{R}^+=area(T^2)$，所以我們有一族平的環面構成的3維實空間，它們都有相同的度量（平整度量）
對於更高的虧格會如何呢？對於$\Sigma_g(g>1)$，我們用$(\mathbb{H}^2,g),g=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}$進行覆蓋，而$\mathbb{H}^2$在實$2\times 2$的矩陣下不變。所以$\Sigma_g$有$\mathbb{H}^2/\Gamma,\Gamma\subset PSL_2(\mathbb{R})$給出。這樣的雙曲度量形成了$6g-6$維的空間。
但在更高維，情況就不一樣了。我們可以類似地定義$\mathbb{H}^n$以及它的度量。同樣具有常截曲率$-1$。而同理得到的流形$H^n/\Gamma_n$ 由於Mostow Rigidity定理，是唯一的。其中$\Gamma_n$為基本群。也就是說，例如在3維，固定了基本群，我們只能得到至多一個度量。
5.極限——幾何極限與Gromov-Hausdorff極限
如何定義一族流形$\{(M_n,g_n,x_n\in M_n)\}_{n=1}^{\infty}$趨近一個極限流形$(M_{\infty},g_{\infty},x_{\infty})$(其中$x$為基點)?我們通過一個例子進行講述：假如$M_n=M,x_n=x$,只有$g_n=\lambda_n^2 g,\lambda_n^2\to\infty$,在平常我們的想象中，應該有流形趨近於它的切空間，也就是$(T_xM,g|_x)$,就像一個無限大的球面在局部來看就趨於平面一樣。
我們來定義幾何極限，也就是存在開區間$U_n\subset M_{\infty},x_{\infty}\in U_n\subset U_{n+1}\subset \cdots$,且 $\bigcup_n U_n=M_{\infty}$，其中$U_n$滿足存在嵌入$\varphi_n:U_n\hookrightarrow M_n,\varphi_n(x_{\infty})=x_n$,且$\varphi_n^*(g_n)\to g_{\infty}$在任意的緊集上一致收斂。就如一些例子：
在基點選為紅色的點，我們不斷拉長拉癟中間的柄，得到就是紅色的流形，這也說明極限流形的拓撲性質會改變，虧格由3變為1。
如果點在右邊那段上，則收斂到的流形虧格為2.
但如果放在中間的柄上，最后會怎么樣的？我們期望它收斂到一條直線，而這顯然不可能由幾何收斂做到，我們就引入Gromov-Hausdorff這種“弱收斂”來解決這個問題。
以下是第二講的內容。
首先我們回顧了黎曼曲率的定義$R(X,Y,Z,W)=\langle R(X,Y)W,Z\rangle$,其中$R(X,Y)=\nabla_X \nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}$.而截曲率是定義在$T_x M$的二維子空間$P$上，令$X,Y$為P的基，那么截曲率定義為$R(X,Y,X,Y)=\langle R(X,Y)Y,X\rangle$(這樣定義黎曼曲率是由於，如果定義為$\langle R(X,Y)X,Y\rangle$,球的黎曼曲率會變為$-1$,與歷史上定義球的高斯曲率為$1$不符。我們將在下面的計算中看到這點。)
6.球的截曲率的計算
我們考慮球的赤道，只需要計算赤道上每一點的截曲率，由於對稱性，我們就可以解出所有點的截曲率。令$y$為“經度”，$x$為“緯度”，且令$X=\partial_x,Y=\partial_y$,有$$\langle R(X,Y)Y,X\rangle=\langle \nabla_X\nabla_Y(Y)-\nabla_Y\nabla_X(Y),X\rangle$$
由於$Y$是測地線，則$\nabla_Y(Y)=0$，我們需要計算$\nabla_X(Y)$.而由於我們需要對$Y$求方向導數，即考察$y$方向在水平面上的投影向量求導，為$-\sin{y}\partial_x$,再乘以圓的半徑$\cos{y}$,得到$\nabla_X(Y)=-\cos{y}\sin{y}\partial_x$.由於我們再考慮的是在$y=0$的值，所以不考慮$\nabla_Y(\partial_x)$因為前面系數為0.從而有$$\nabla_Y\nabla_X(Y)=(\sin^2{y}-\cos^2y)|_{y=0}=-1$$
從而$\langle R(X,Y)Y,X\rangle=1$成立
7.度量放大后黎曼曲率與Ricci曲率的變化
接下來我們討論是當度量放大$\lambda^2$倍后，即$h=\lambda^2 g$，各個曲率將會如何變化？我們計算得知黎曼曲率$R(X,Y,Z,W)$放大了$\lambda^2$倍，而Ricci曲率$Ric(X,Z)$與原來相等。這是注意到前面提過的
$\nabla_{\partial_i}(\partial_j)=\Gamma_{ij}^k \partial_k$，且$\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2} g^{lk}(\partial_j g_{ki}+\partial_i g_{jk}-\partial_k g_{ij})$成立，也就是說，由於$g_{ij}$變為原來的$\lambda^2$倍，而$g^{lk}$變為原來的$\lambda^{-2}$倍，也就是$\Gamma$沒有變化。那么$\nabla_X(Y)$也沒有變化。但是由於內積$\langle,\rangle$變為原來的$\lambda^2$倍，就是$R(X,Y,Z,W)$變為原來的$\lambda^2$倍。
但是我們會觀察到，當球面增大的時候，它的高斯曲率反而變小了，這是因為向量的“減小”導致的。由於在新的度量下，原來的單位向量$X,Y$必須變為新的單位向量$\lambda^{-1}X,\lambda^{-1}Y$.對於截曲率我們就有$$\sec_h(P)=R_h(\lambda^{-1}X,\lambda^{-1}Y,\lambda^{-1}X,\lambda^{-1}Y)=\lambda^{-2}R_g(X,Y,X,Y)=\sec_g(P)$$
而且對於Ricci曲率，我們計算得到$$Ric_h(X,Z)=\sum_{Y_i \mbox{ basis}} R_h(X,Y_i,Z,Y_i)=\sum_{Y_i \mbox{ basis}} \lambda^2 R_g(X,\lambda^{-1} Y_i,Z,\lambda^{-1} Y_i)$$
是由於$Y_i$是正交向量場，在原坐標下是$\lambda^{-1} Y_i$才是正交向量場，也就是Ricci曲率沒有變化。
8.Bishop-Gromov不等式
我們同時給出黎曼曲面內著名的比較定理：Bishop-Gromov不等式
M為$n$維完備流形，且Ricci曲率滿足$Ric\ge (n-1)k$,那么對於$H_k^n$,也就是常截曲率$k$(換言之，常Ricci曲率$(n-1)k$)的$n$維流形。（$k<0$雙曲空間，$k=0$歐氏空間，$k>0$球面），那么對於$\forall x \in M,\forall x_0 \in H_k^n$,有函數$$f(R)=\frac{vol(B(x,R))}{vol(B(x_0,R))}$$是關於$R$非增的函數。其中
這個定理在全局的意義下也成立，是由於$M$在$R$增大的時候$B$會倒塌。
9.Ricci流以及在某些特殊流形上的解
Ricci流的定義如下：在$M$上的度量$g(t)$滿足$$\frac{\partial g(t)}{\partial t}=-2Ric(g(t))$$
是弱雙曲方程。它在短時間內是存在唯一的。具體刻畫是：
存在性：給定$M^n$為緊的，度量$g_0$,則$\exists \epsilon>0,$存在光滑的$g(t)(0\le t\le \epsilon)$ ,滿足$g(0)=g_0$且滿足該方程。
惟一性：對於$g(t),h(t)$為解，且$g(0)=h(0)$,那么在共同的定義域上$g=h$。
對於某些特殊流形我們可以研究Ricci流的顯式解。比如Einstein流形，也就是$(M,g)$為流形，且滿足$Ric(g_0)=\lambda g_0$,其中$\lambda$為常數。
那么該Ricci流的解為$g(t)=(1-2\lambda t)g_0$。因為$\frac{\partial g(t)}{\partial t}=-2\lambda g_0=-2Ric(g_0)=-2Ric(g(t))$,最后一個等號成立是由於$g(t)$是$g_0$的倍數，利用前面的放大性質得到。
所以當$\lambda>0$,在$t=1/2\lambda$的時候為奇點，由於流形退化了。比如一個球會退化到一個點上，這種現象對於$\lambda>0$的黎曼流形都成立。
當$\lambda<0$,$g(t)$對與所有$t$成立。考慮$g(t)/t=(1+2|\lambda|t)/t g_0\to 2|\lambda| g_0$是一個有限的極限。這個極限也是Perelman用來在3維的Ricci流中尋找無窮遠的雙曲部分使用的方法。他考慮的是在體積不倒塌的區域上，取縮小為$1/t$,那么這個區域與其度量收斂到雙曲3維流形。
其他可以計算Ricci流的方程為積流形，也就是兩個流形的笛卡爾積。例如$S^2\times \mathbb{R}$,有度量$g_{s^2}+dt^2$,在$t\to\infty$時候，原來的流形縮至一條直線。除了這些流形以為，我們沒法給出更多整體的Ricci流的性質
10.怎么研究Ricci流？
怎么研究Ricci流？我們有三種方法可以使用：
- 直接計算方程，正是我們前面使用的
- 極大值原理——在一定范圍內控制數量曲率
- Bishop-Gromov不等式的雙曲形式
第一個方法，我們使用對於體積的估計，我們知道，體積的定義是
\[vol(U)=\int_U(\det(g))^{1/2}d\vec{x},\quad U\subset\mbox{ coordinate patch}\]
那么如果$\frac{\partial g(t)}{\partial t}=-2Ric(t)$,則$\frac{d}{dt}vol(U)=\int_U -R dvol$,其中$R$為數量曲率。這是由於\begin{align*}\frac{d}{dt}vol(U)&=\int_U\frac{1}{2} (\det(g))^{-1/2}\frac{\partial }{\partial t}\det(g) \\ &=\int_U\frac{1}{2} (det(g))^{-1/2} \det(tr(\frac{\partial}{\partial t}g))=\int \frac{1}{2}(\det(g))^{-1/2} tr(-2Ric) \\ &=-\int tr(Ric) dvol=-\int R dvol \end{align*}
所以這也表明了，正的數量曲率代表這體積在變小，負的數量曲率體積變大
第二個方法，就是$$\frac{\partial R}{\partial t}=\Delta R+\frac{2}{n} R^2+2|Ric_0|^2$$
其中$Ric_0=Ric-\frac{R}{n}g$為跡0的Ricci曲率（也就是正交分解）。所以對於$R_{min}(t)=\min_{x\in M}(R(x,t))$,我們有\[\frac{d R_{min}(t)}{dt}\ge \frac{2}n R_{min}^2(t)\]成立，是由於其他兩項都大於等於0.而同理可得對於固定的$y$,$\frac{d R(y,t)}{dt}\ge \frac{2}n R^2(y,t)$.通過這里我們有兩個推論。
1.$R_{min}(t)$單調遞增
2.若$R_{min}(0)>0$，那么在有限時間內會爆破，也就是$R_{min}$達到無窮。而若$R_{min}(0)<0$,則$$R_{min}(t)\ge \frac{-n|R_{min}(0)|}{2|R_{min}(0)|t+n}$$也即它的漸進下界為$-n/(2t)$.