函數梯度及空間曲面切平面
求曲面(線)的 \(y=x^2\) 在點 \(P(1,1)\) 處的切線。
解：
令：\(f(x,y)=x^2-y\)，
則梯度方向為：\(\nabla f(x,y)=2xi-j\)
所以等值面(等高線) \(f(x,y)=x^2-y=0\) 的在點 \(P(1,1)\) 處的法向量為：\(\overrightarrow {n} = (2,-1)\)
所以，\(y=x^2\) 在 \(P(1,1)\) 處的切線(面)方程為：
\(2(x-1)-(y-1)=0\)
即：\(2x-y-1=0\)
總結：
首先重申一下梯度的概念：
函數\(f(\overrightarrow {x})\)在某點的梯度是這樣一個向量：它指向的方向函數增加最快；此時，函數在這個方向的方向導數達到最大值，這個最大值就是梯度的模。
所謂“梯度垂直於等高線” 是指：
- \(f(x,y)\) 在某點梯度方向垂直於\(f(x,y)=C\) 的等高線，而不是垂直於 \(f(x,y)\) 本身。
- 梯度為等高線在該點的法向量。
- 如果兩個等值面法線相等，則這兩個等值面相切，且有共同的切平面。
這個材料寫的還可以：方向導數與梯度
或者打開學習的正確方式：梯度，方向導數，切平面
畫圖說明：
如果把 \(f(x,y)=x^2-y\)當做一個二元函數的取值，並且放在第三個維度來看\(f(x,y)\) 的取值：
但是，分別取兩個等高線 \(f(x,y)=x^2-y=0\) 和 \(f(x,y)=x^2-y=-2\) 兩個等高線，並分別在 \((1, 1)\) 處和 \((1, 3)\)處根據\(f(x,y)\)的梯度找到做兩者的法線方程(圖中未畫)和切線方程。
現在我們上升一個維度來繼續做相同的事情，來加深對概念的理解：
求 \(x^2+2y^2+3z^2=6\) 在 \(P(1,1,1)\) 處的法線方程：
解：
令：\(f(x,y)=x^2+2y^2+3z^2\)，
則梯度方向為：\(\nabla f(x,y,z)=2xi+4j+6z\)。
由梯度和等值面的關系可知：隱函數\(f(x,y,z)\)在點\(P\)處的梯度方向, 就是等值面\(f(x,y,z)=6\)在\(P\)處的法向量方向。
所以等值面(等高線) \(f(x,y,z)=6\) 的在點 \(P\) 處的法向量為：\(\overrightarrow {n} = (2,4,6)\)
所以，\(y=x^2\) 在 \(P(1,1)\) 處的切平面方程為：
\(2(x-1)+4(y-1)+6(z-1)=0\)
即：\(2x+4y+6z-12=0\)
法線方程是：
\(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z-1}{6}\)
或者寫作：\(x=2t+1, y=4t+1, z=6t+1\)
現在，我們畫圖來理解 \(f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2\) ，\(f(x,y,z)=6\)，以及切平面的位置。
不過現在有個問題，因為我們只能看到三維空間中的圖像，如果上升到四維，我們在三維空間是表示不了因變量 \(f(x,y,z)\) 的。所以，只能畫出等值面，以及等值面 \(f(x,y,z)=6\) 的切平面 【注意這個等值面是三維的，不同於我們印象中的二維的等值面(等高線)】
這里提一下對與一維的\(f(x)\)怎么理解梯度方向垂直於等高線：
例如： \(x^2 = 4\), 則 \(f(x)=x^2\)，梯度方向為 \(\nabla f(x)=2xi\)，在 \(x=2\) 處的等高線 \(f(x)=4\) 為垂直於 \(x\) 軸的一條直線(整個示意圖都在一維坐標上完成)，而由於只有一維，梯度方向就是延 \(x\) 軸指向正的方向。所以“梯度方向(\(x\)軸)”垂直於“等高線(\(f(x)=4\))”，並且梯度方向指向的是 \(f(x)\)增大的方向。
【lk：這個一維下的概念純屬個人的理解，若有不對之處，望指正。】