仿射空間：設\(L\)是\(V\)d的一個子空間，\(x\)是\(V\)中一個向量，記
\[M = x+L=\{x+l:l\in L\} \]
稱\(M\)為仿射空間，也就是把過原點的子空間按照向量\(x\)平移得到，這樣就包含了空間所有的點、線、面，也叫做平移子空間。仿射空間可以看作子空間\(x+l\)一一映射得到的。仿射空間沒有零元素。
例：給定矩陣\(A^{m\times n}(m<n), 和向量b^m\)，則滿足
\[M = \{x\in R^n:Ax=b\}$$的解集是仿射空間（非齊次方程的解等於特解+對應其次方程的通解；通解是線性子空間，而特解相當於平移向量）。 幾何上，把線性子空間稱為**偏置子空間**，類似於近世代數中**陪集**的概念，泛函分析中稱為**仿射流形**，凸分析中稱之為**仿射空間**。 **定理一**：$M$是仿射空間當且僅當對$\forall x,y\in M$和$\lambda\in R$有 $$(1-\lambda)x+\lambda y \in M$$要求系數之和為1，是為了保證平移向量不變。 **定理二**：假設L是向量空間的子空間，對於空間中任意兩個向量$x,y$，下面幾個命題等價： (1) x+L = y+L (2)$y\in x+L$ (3) $-x+y \in L$ **定理三**：如果x+L=y+L'，則L=L' 這說明雖然平移線性空間的向量可以是不同的，但被平移的子空間是唯一的。 **仿射空間的交**：仿射空間族的交集是一個仿射空間或者是空集（當兩個仿射空間是平行的時候）。 **仿射空間的和**：包含仿射空間$S_i$的最小集合。和滿足交換律和結合律。 兩條直線的和是兩條直線確定的平面，兩條異面直線的和是三位空間，在三維空間研究中，用**連接**表示**和**，如兩點的連接是直線，一條直線與不共線點連接得到平面。 **仿射空間的維數**：為子空間$L$的維數，即dim(x+L)=dim(L) 任何仿射空間的交也是仿射空間，因此對任意集合$S\subseteq R^n$，存在唯一一個包含S的最小仿射空間，即所有滿足$M\supseteq S$的仿射空間的交，這個集合也稱為S的**仿射包**。記為aff S. 可以證明$\text{aff}\{S\}=\{\lambda_1 x_1+...+\lambda_m x_m:\lambda_1+...+\lambda_m=1,x_i\in S_i\}$ 對於m+1個仿射獨立的向量x0,x1,...,xm,他們組成了仿射空間aff{x0,x1,...,xm}的仿射坐標系，其中原點是x0，坐標向量分別是x1-x0,...,xm-x0,這個坐標系不再是直角坐標系，坐標原點可以任意選其中一個，其余的作為坐標向量。確定m維子空間需要m個向量，而確定m維仿射空間需要m+1個向量，其中一個確定仿射空間所在位置，而其他m個向量確定空間結構，表示為 $$x = \lambda_1 (x_1-x_0)+...+\lambda_m(x_m-x_0)+x_0,\sum\lambda_i = 1$$當$\lambda_i\geq 0$時，稱之為x的重心坐標。 **引理1**：$(x+U)\cup (y+T)=x+span\{(-x+y)\}+S+T$ 證明：$(x+S)\cup (y+T)$是包含x和y的仿射空間，因此，存在某個子空間L，使它的形式是x+L=y+L，且L當然包含span{-x+y}，同時，也包含S和T。因此x+S, y+T的和是包含他們的最小仿射看空間，因此有L=span{-x+y}+S+T **引理2**$(x+S)\cup(y+T)$不是空集當且僅當$-x+y\in S+T$ 證明：因為x+s=y+t，當且僅當-x+y=s-t **定理5**：設M，N是V中兩個仿射空間，S和T分別是對應的子空間，則$M\cap N=\emptyset$的充分必要條件是$$\text{dim}(M\cup N)=\text{dim}(S+T)+1$$是空集分兩種，一種是不共面，另一種是平行，不共面的兩仿射空間求並，導致維數增加；平行的直觀圖像為：兩個子空間為相同，但是平移向量不同，得到的兩個仿射空間並相當於兩條平行線確定一個平面，比原來的子空間維數大1。 **定理6**：假設M和N是向量空間V中的仿射空間： 如果$M\subset N$，則dimM$\leq$dimN，當且僅當M=N時dimM = dimN。 如果$M\cap N$不是空集，則$$dim(M\cup N)+dim(M\cap N)=dimM+dimN$$**二維空間的關聯性質**： 兩個不同點的連接是一條直線 兩個不平行直線的交是一點 **三維空間的關聯性質** 兩個不同點的連線是一條直線 兩個不平行平面的交是一條直線 兩條相交於一點的直線的和是一個平面 兩條共面且不平行的直線交是一點 兩條不同平行直線的和是一個平面 一條直線和不在它上的一點連接是一個平面 一個平面和不與它共面的直線的交是一個點\]