1. 仿射變換的應用
1. 在用PS時，大家一定用過旋轉、水平剪切和垂直剪切的操作。 2. spm在fmri圖像數據預處理時，normalize歸一化這一步時，需要將帶配准圖像與來自standard space的模板圖像進行配准，配准除了涉及旋轉、平移這些剛體變換之外，還包括放縮、錯切。這就構成了a full affine transformation全仿射變換。 3. 做計算機圖形學的朋友都知道，盡管描述一個三維對象只需要三維向量，但所有的計算機圖形學變換矩陣都是4 x 4的。說其原因，很多書上都寫着“為了使用中方便”，這在我看來簡直就是企圖蒙混過關。真正的原因，是因為在計算機圖形學里應用的圖形變換，實際上是在仿射空間而不是向量空間中進行的。
2. 仿射變換的定義
仿射變換是二維平面中一種重要的變換，在圖像圖形領域有廣泛的應用。許多人對“仿射”沒有一個感官的認識，我覺得很有必要先來說一下“仿射”。
所謂的“仿射變換”就是一種簡單的變換，它的變化包括旋轉、平移、伸縮，原來的直線仿射變換后還是直線，原來的平行線經過仿射變換之后還是平行線，這就是仿射。保持二維圖形的“平直線”和“平行性”，其可以通過一系列的原子變換的復合來實現，包括
平移(Translation) 縮放（Scale） 翻轉（Flip） 旋轉（Rotation） 剪切(Shear)
仿射變換的矩陣的平移(Translation)+旋轉（Rotation）操作是其次坐標形式的變換矩陣
這個矩陣包含的變換有旋轉和平移，其實是兩個矩陣的混合體，許多文章都對這個做了很詳細的描述。仿射變換的數學公式里，是如何做到坐標點位置的平移呢？清楚這個才是弄明白仿射變換的關鍵。
利用此圖可以完成仿射變換公式的推導，推導如下：
2.1 旋轉操作的矩陣實現
一個點P在原始坐標系下的坐標是(Xsp,Ysp)。然后要完成旋轉操作，旋轉操作是基於原點的，如何得到旋轉之后的點的坐標，這里用到一個技巧，坐標系中某個點的旋轉可以等價地去旋轉坐標軸，所以有了上圖中以(Xs0,Ys0)為中心的虛線與屏幕水平垂直的坐標系。在這個坐標系中確定P的坐標，和在藍色坐標系中確定旋轉之后P的坐標是等價的。基於這個結論，我們可以通過簡單的立體幾何知識確定P在新坐標系中的坐標。P在新坐標系中的X坐標和Y坐標分別是
經典的仿射變換的模型呼之欲出了。整理上面兩個式子得：
這就是仿射變換模型中旋轉部分的原理，還有一步，就是平移。
2.2 平移的實現
旋轉變換之后，我們確定了P點在新坐標系中的位置，然后在這個位置的基礎上加上其在X軸和Y軸的偏移即可
仿射變換的矩陣橫空出世。當然上圖中對這個變換的處理更巧妙，它還是利用了不移動點移動坐標系的策略，將坐標系向相反方向移動了相應的距離。於是有了上圖這個經典仿射變換模型的圖示展現。
上圖中我們可以看到，整個在對P點進行仿射變換的過程中，P點的位置並沒有移動，我們是通過不斷的坐標系的調整來間接達到P點移動的效果，這充分說明了一件事：
運動都是相對的。
3. 幾種典型的仿射變換API
3.1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)
平移變換，將每一點移動到(x+tx, y+ty)，變換矩陣為：
（譯注：平移變換是一種“剛體變換”，rigid-body transformation，中學學過的物理，都知道啥叫“剛體”吧，就是不會產生形變的理想物體，平移當然不會改變二維圖形的形狀。同理，下面的“旋轉變換”也是剛體變換，而“縮放”、“錯切”都是會改變圖形形狀的。）
3.2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)
縮放變換，將每一點的橫坐標放大（縮小）至sx倍，縱坐標放大（縮小）至sy倍，變換矩陣為：
3.3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)
剪切變換，變換矩陣為：
相當於一個橫向剪切與一個縱向剪切的復合
（譯注：“剪切變換”又稱“錯切變換”，指的是類似於四邊形不穩定性那種性質，街邊小商店那種鐵拉門都見過吧？想象一下上面鐵條構成的菱形拉動的過程，那就是“錯切”的過程。）
3.4.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)
旋轉變換，目標圖形圍繞原點順時針旋轉theta弧度，變換矩陣為：
3.5.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)
旋轉變換，目標圖形以(x, y)為軸心順時針旋轉theta弧度，變換矩陣為：
[ cos(theta) -sin(theta) x-x*cos+y*sin]
[ sin(theta) cos(theta) y-x*sin-y*cos ]
[ 0 0 1 ]
相當於兩次平移變換與一次原點旋轉變換的復合：
[1 0 -x][cos(theta) -sin(theta) 0][1 0 x]
[0 1 -y][sin(theta) cos(theta) 0][0 1 y]
[0 0 1 ][ 0 0 1 ][0 0 1]
4. 仿射變換效果圖
順時針旋轉30度：
水平剪切：
垂直剪切：