仿射密碼（Affine Cipher）體制的加密和解密

代換密碼的另一個特殊情形是仿射密碼，它的加密函數定義為 e(x)=(ax+b)mod 26，其中a,b∈Z₂₆ —— 因為這樣的函數被稱為仿射函數，所以這樣的密碼體制也被稱為仿射密碼（當a=1時，正好是移位密碼）。

為了能對密文進行解密，必須保證所選用的仿射函數是一個單射函數，則對於任意的y∈Z₂₆，同余方程ax+b≡y(mod 26)有唯一解x，並且等價於ax≡y-b(mod 26)。當y遍歷Z₂₆時，y-b也遍歷Z₂₆，故同余方程有唯一解的充要條件是gcd(a,26)=1。

單射：設f是由集合A到集合B的映射，如果所有x,y∈A,且x≠y，都有f(x)≠f(y),則稱f為由A到B的單射 —— 百度百科

gcd：最大公約數

定理 1.1：設a∈Z_m，對任意的b∈Z_m，同余方程ax≡b(mod m)有唯一解x∈Z_m的充要條件是gcd(a,m)=1。故當m=26，所有與26互素的數為a=1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25，b的取值可以為Z₂₆中的任何數，因此仿射密碼的密鑰空間為12*26=312。（密鑰空間很小，很不安全）

定理1.2：假定

這里p_i均為素數且互不相同，e_i>0, 1≤i≤n。則

如果m=60，則Φ(60)=2*2*4=16，所以此仿射密碼的密鑰空間大小為16*60=960。 

根據定理1.2，60=2²*3*5，98=2*7²

乘法逆：設a∈Z_m，若存在a'∈Z_m，使得aa'≡a'a≡1(mod m)，則a'稱為a在上的乘法逆，將其記為a^-1mod m。在m是固定的情形下，也可將其簡記為a^-1。根據定理1.1，定理1.2和乘法逆，有如下仿射密碼的定義：

 

代碼實現（Python 3）

def affine_cipher_encrypt(message:str, keyA=7, keyB=3):
    SYMBOLS = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ'
    translated = ''

    message = message.upper()
    for symbol in message:
        if symbol in SYMBOLS:
            symbolIndex = SYMBOLS.find(symbol)
            translatedIndex= (keyA * symbolIndex + keyB)%26
            translated = translated + SYMBOLS[translatedIndex]
        else:
            translated = translated + symbol
    print(translated)


def affine_cipher_decrypt(message:str, keyA=7, keyB=3):
    SYMBOLS = 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyz'
    translated = ''

    message = message.lower()
    keyA1 = multiplicative_inverse(keyA)
    for symbol in message:
        if symbol in SYMBOLS:
            symbolIndex = SYMBOLS.find(symbol)
            translatedIndex= (keyA1 * (symbolIndex - keyB))%26
            translated = translated + SYMBOLS[translatedIndex]
        else:
            translated = translated + symbol
    print(translated)


def multiplicative_inverse(key,m=26):
    for n in range(m):
        if key*n%m==1:
            print(f'The multiplicative_inverse of key {key} is {n}.')
            return n
    return -1