單射、雙射與滿射

本文轉載自查看原文 2012-03-16 17:06 30149

數學上，單射、滿射和雙射指根據其定義域和陪域的關聯方式所區分的三類函數。

單射：指將不同的變量映射到不同的值的函數。
滿射：指陪域等於值域的函數。即：對陪域中任意元素，都存在至少一個定義域中的元素與之對應。
雙射（也稱一一對應）：既是單射又是滿射的函數。直觀地說，一個雙射函數形成一個對應，並且每一個輸入值都有正好一個輸出值以及每一個輸出值都有正好一個輸入值。（在一些參考書中，“一一”用來指雙射，但是這里不用這個較老的用法。）

下圖對比了四種不同的情況：

[編輯]單射（one to one或injective）

單射復合:第二個函數不必是單射。

一個函數稱為單射(一對一)如果每個可能的像最多只有一個變量映射其上。等價的有，一個函數是單射如果它把不同值映射到不同像。一個單射函數簡稱單射。形式化的定義如下。

函數 $f: A \to B$ 是單射當且僅當對於所有 $a,b \in A$ , 我們有 $f(a) = f(b) \Rightarrow a = b.$

一個函數f : A → B是單射當且僅當A是空的或f是左可逆的，也就是說，存在一個函數g: B → A 使得g o f = A上的恆等函數.
因為每個函數都是滿射當它的陪域限制為它的值域時，每個單射導出一個到它的值域的雙射。更精確的講，每個單射f : A → B可以分解為一個雙射接着一個如下的包含映射。令f_R : A → f(A)為把陪域限制到像的f，令i : f(A) → B為從f(A)到B中的包含映射.則f = i o f_R. 一個對偶的分解會對滿射成立。
兩個單射的復合也是單射，但若g o f是單射，只能得出f是單射的結論。參看右圖。

滿射復合：第一個函數不必為滿射

一個函數稱為滿射如果每個可能的像至少有一個變量映射其上，或者說陪域任何元素都有至少有一個變量與之對應。形式化的定義如下：

函數 $f: A \to B$ 為滿射，當且僅當對任意 $b \in B$ ，存在 $a \in A$ 滿足 $f(a) = b$ 。

函數 $f:X\rightarrow Y$ 為一個滿射，當且僅當存在一個函數 $g:Y\rightarrow X$ 滿足 $f\circ g$ 等於 $Y$ 上的單位函數。（這個陳述等同於選擇公理。）
將一個滿射的陪域中每個元素的原像集看作一個等價類，我們可以得到以該等價類組成的集合（原定義域的商集）為定義域的一個雙射。
如果 $f$ 和 $g$ 皆為滿射，則 $f\circ g$ 為滿射。如果 $f\circ g$ 是滿射，則僅能得出 $f$ 是滿射。參見右圖。

雙射復合：第一個函數不必為滿射、第二個函數不必為單射

既是單射又是滿射的函數稱為雙射. 函數為雙射當且僅當每個可能的像有且僅有一個變量與之對應。

函數 $f: A \to B$ 為雙射當且僅當對任意 $b \in B$ 存在唯一 $a \in A$ 滿足 $f(a) = b$ 。

如果 $X,Y$ 皆為實數 $\mathbb{R}$ ，則雙射函數 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 可以被視覺化為兩根任意的水平直線只相交正好一次。（這是水平線測試的一個特例。）

雙射函數經常被用於表明集合X和Y是等勢的，即有一樣的基數。如果在兩個集合之間可以建立一個一一對應，則說這兩個集合等勢。

如果 $X,Y$ 皆為有限集合，則這兩個集合中 $X,Y$ 之間存在一個雙射，當且僅當X和Y的元素數相等。其實，在公理集合論中，元素數相同的定義被認為是個特例，一般化這個定義到無限集合需要導入基數的概念，這是一個區別各類不同大小的無限集合的方法。

對於每個函數給定定義域和陪域很重要，因為改變這些就能改變函數屬於什么射。

任意集合上的恆等函數id為一雙射。
考慮函數 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ，定義為 $f(x)=2x+1$ 。這個函數是雙射，因為給定任意一個實數 $y$ ，我們都能解 $y=2x+1$ ，得到唯一的實數解 $x=(y-1)/2$ 。
指數函數 $\exp : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^+ : x \mapsto \mathrm{e}^x$ 及其逆函數自然對數 $\ln : \mathbf{R}^+ \to \mathbf{R} : x \mapsto \ln{x}$ 。