- 10.21：整理了一部分復變函數內容
1. 復變函數運算
1. 表示法
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代數表示
\(z=x+iy\)
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三角表示
令\(\theta\)為\(z\)的一個輻角，有：
\[\begin{cases} x=rcos\theta\\ y=rsin\theta \end{cases} \]得：\(z=r(cos\theta+isin\theta)\)
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指數表示
由歐拉公式\(e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\)得：
\(z=re^{i\theta}\)
2. 共軛性質
- \(\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}\)
- \(\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1}\ \overline{z_2}\)
- \(\overline{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\)
- \(z\overline{z}=[Re(z)]^2+[Im(z)]^2\)
- \(z+\overline{z}=2Re(z)\)
- \(z-\overline{z}=2iIm(z)\)
3. 幾何性質
- \(|x|\leq|z|,|y|\leq|z|\)
- \(|z|\leq|x|+|y|\)
- \(|z|=|\overline{z}|\)
- \(z\overline{z}=x^2+y^2=|z|^2\)
- \(|z_1+ z_2|\leq|z_1|+|z_2|,|z_1-z_2|\geq||z_1|-|z_2||\)
4. 基本運算
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幅角：\(Arg,arg\)
正實軸到向量\(\overrightarrow{OP}\)的角的弧度數稱為__幅角__，記作\(Arg\)，有無窮個值，都滿足\(tan(Argz)=\frac{y}{x}\)
在\((-\pi,\pi]\)內的幅角稱為__幅角主值__，記作\(arg\)
\[argz= \begin{cases}{} arctan{\frac{y}{x}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x>0\\ arctan{\frac{y}{x}}+\pi,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<0,y\geq0\\ arctan{\frac{y}{x}}-\pi,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<0,y<0\\ \frac{\pi}{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=0,y>0\\ -\frac{\pi}{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=0,y<0\\ \end{cases} \] -
乘積
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設\(z_1=r_1(cos\theta_1+isin\theta_1),z_2=r_2(cos\theta_2+isin\theta_2)\)，則：
\(z_1z_2=r_1r_2[(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2)+i(sin\theta_1cos\theta_2+cos\theta_1sin\theta_2)]=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+isin(\theta_1+\theta_2)]=r_1r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)
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\(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\)
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\(Arg(z_1z_2)=Argz_1+Argz_2\)
推論：
- \(z_1z_2\dots z_n=r_1r_2\dots r_n[cos(\theta_1+\theta_2+\dots+\theta_n)+isin(\theta_1+\theta_2+\dots+\theta_n)]=r_1r_1\dots r_n e^{i(\theta_1+\theta_2+\dots+\theta_n)}\)
- \(|z_1z_2\dots z_n|=|z_1||z_2|\dots|z_n|\)
- \(Arg(z_1z_2\dots z_n)=Argz_1+Argz_2+\dots Argz_n\)
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除法
- \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[cos(\theta_1-\theta_2)+isin(\theta_1-\theta_2)]=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}\)
- \(|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\)
- \(Arg(\frac{z_1}{z_2})=Argz_1-Argz_2\)
兩個復數商的模等於模的商，兩個復數商的輻角等於他們輻角的差。
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乘冪
- \(z^n=r^n(cosn\theta+isinn\theta)\)
- 棣莫弗公式：\((cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta\)
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方根
- \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+isin\frac{\theta+2k\pi}{n})\)
令\(z=re^{i\theta}\)，有：
- \(\sqrt[n]{re^{i\theta}}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}\)
幾何上看出，\(\sqrt[n]{z}\)的n個值是以原點為圓心，\(\sqrt[n]{r}\)為半徑的圓內接正n邊形的n個頂點。
5. 初等函數
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指數函數
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定義：\(e^z=exp(z)=e^x(cosy+isiny)\)
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性質：
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\(|e^z|=e^x\)
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\(e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}\)
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\(e^{z+2k\pi i}=e^z\cdot e^{2k\pi i}=e^z(cos2k\pi+isin2k\pi)=e^z\)
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\((e^z)'=e^z\)
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對數函數
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定義：將滿足方程\(e^w=z(z\neq0)\)的函數\(w=f(z)\)稱為復變量\(z\)的__對數函數__，記作\(w=Lnz\)
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對數函數計算方法及其主值：
設\(w=u+iv=Lnz\)，則\(e^{u+iv}=z\)，於是得到：
\[|e^{u+iv}|=e^u=|z| \]\[Arg(e^{u+iv})=Argz \]從而得到\(u=ln|z|,v=Argz\)，所以：
\[\bf{w=Lnz=ln|z|+iArgz} \]可以看出，\(Lnz\)是多值函數。將\(ln|z|+iargz\)稱為__Lnz__主值，即：
\[\bf{lnz=ln|z|+iargz} \] -
性質
- \(Ln(z_1z_2)=Lnz_1+Lnz_2\)
- \(Ln(\frac{z_1}{z_2})=Lnz_1-Lnz_2\)
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注意：下面兩個等式不再成立。
\[Lnz^n=nLnz \]\[Ln\sqrt[n]z=\frac{1}{n}Lnz \]原因是\(Lnz+Lnz+\dots+Lnz=nLnz\)不再成立。
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冪函數
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定義：\(w=z^a=e^{a Lnz}\)
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冪函數計算方法:
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\(a\)為整數時，\(e^{2ka\pi i}=1,w=z^a=e^{alnz}\)是單值函數。
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\(a\)為有理數\(\frac{m}{n}\)時，
\(z^{\frac{m}{n}}=e^{\frac{m}{n}[ln|z|+i(argz+2k\pi)]}=e^{\frac{m}{n}ln|z|}[cos(\frac{m}{n}(argz+2k\pi))+isin(\frac{m}{n}(argz+2k\pi))]\)
\(z^{\frac{m}{n}}\)有\(n\)個不同的值，即當\(k=0,1,\dots,n-1\)時相應的值
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\(a\)為無理數或虛數時，\(z^a\)有無窮多個值，其中\(e^{alnz}\)稱為\(z^a\)主值。
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解析性：
- \(w=z^n(n\in\bold Z^+)\)在復平面內處處解析，並且\((z^n)'=nz^{n-1}\)
- \(w=z^{-n}=\frac{1}{z^n}(n\in\bold Z^+)\)在除原點的復平面內解析，並且\((z^{-n})'=-nz^{-n-1}\)
- 除去以上情況，\(w=z^a\)的各分支在除原點和負實軸的復平面內解析，並且\((z^a)'=az^{a-1}\)
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三角函數和雙曲函數
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定義：
- 正弦函數\(sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\)
- 余弦函數\(cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\)
- 雙曲正弦函數\(shz=\frac{e^z-e^{-z}}{2}\)
- 雙曲余弦函數\(chz=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\)
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性質：
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三角函數恆等式和誘導公式仍成立
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\(cos(iz)=chz,sin(iz)=ishz\)
\(ch(iz)=cosz,sh(iz)=isinz\)
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\(|sinz|,|cosz|\)無界
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四個函數在復平面內處處解析，且：
\((sinz)'=cosz,(cosz)'=-sinz\)
\((shz)'=chz,(chz)'=shz\)
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2. 復變函數積分
1. 解析函數
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定義：
- 如果函數\(f(z)\)在\(z_0\)及其鄰域內可導，則稱\(f(z)\)在\(z_0\)解析。
- 如果\(f(z)\)在區域\(D\)內每一點都解析，則稱\(f(z)\)在\(D\)內解析，\(f(z)\)為解析函數。
- 如果\(f(z)\)在\(z_0\)不解析，則稱\(z_0\)為\(f(z)\)的奇點。
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定理：
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設函數\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)定義在D內，\(w=f(z)=u+iv\)在D內一點\(z=x+iy\)可導的充要條件是：
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\(u(x,y)\)與\(v(x,y)\)在點\((x,y)\)可微。
實際判別中，若\(\frac{\part u}{\part x},\frac{\part u}{\part y},\frac{\part v}{\part x},\frac{\part v}{\part y}\)在D上均連續，則一定可微。
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在該點滿足__柯西——黎曼方程__：
\[\frac{\part u}{\part x}=\frac{\part v}{\part y}\\ \frac{\part u}{\part y}=-\frac{\part v}{\part x} \]
推論1：\(f'(z)=\frac{\part u}{\part x}+i\frac{\part v}{\part x}\)
推論2：只在若干點或曲線上解析的函數在Z平面上處處不解析。
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除去分母為0的點，在區域D內解析的兩個函數\(f(z)\)與\(g(z)\)的和差積商在D內解析。
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2. 調和函數
- 定義：如果二元實函數\(\phi(x,y)\)在區域D內有二階連續偏導數，而且滿足拉普拉斯方程\(\frac{\part^2\phi}{\part x^2}+\frac{\part^2\phi}{\part y^2}=0\)，則稱\(\phi(x,y)\)為區域D內的調和函數。
- 定理：任何在區域D內解析的函數，其實部和虛部都是區域D內的調和函數
3. 復變函數積分性質和方法
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性質：
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\(\int_Cf(z)dz=-\int_{c^-}f(z)dz\)
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\(\int_C kf(z)dz=k\int_{C}f(z)dz\)
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\(\int_C[f(z)\pm g(z)]dz=\int_C f(z)dz\pm\int_C g(z)dz\)
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\(\int_Cf(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz+\dots+\int_{C_n}f(z)dz\)
其中C由曲線\(C_1,C_2,\dots,C_n\)連接而成。
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設曲線C的長度為L，函數\(f(z)\)在C上滿足\(|f(z)|\leq M\)，則：
\(|\int_C f(z)dz|\leq\int_C|f(z)|ds\leq ML\)
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方法：
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參數表示法：
設有向曲線C的參數方程為
\[\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z(t)=x(t)+iy(t)\\ \end{cases} \]曲線起點對應\(t=\alpha\)，曲線終點對應\(y=\beta\)（\(\alpha\)未必小於\(\beta\)），則：
\[\int_C f(z)dz=\int_\alpha^\beta f(z(t))z'(t)dz \]其中\(z'(t)=x'(t)+iy'(t)\)
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二元實函數表示法：
如果\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在C上處處連續，則：
\[\int_C f(z)dz=\int_C udx-vdy+i\int_C vdx+udy \]
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4. 復變函數積分定理
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柯西——古薩基本定理
如果函數\(f(z)\)在單連通域D內處處解析，則函數沿D內任何一條簡單閉曲線C的積分值為0，即：
\[\oint_C f(z)dz=0 \] -
復變函數的微積分基本定理：
如果函數\(f(z)\)在單連通域D內處處解析\(F(z)\)是\(f(z)\)的一個原函數，\(z_1,z_2\)是區域D內兩點，則：
\[\int_{z_1}^{z_2}f(z)dz=F(z)|_{z_1}^{z_2}=F(z_2)-F(z_1) \]這意味着，實函數的積分方法同樣適用於復變函數。
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復合閉路定理
設簡單閉曲線C所包圍的區域內有n條互不相交也互不包含的簡單閉曲線\(C_1,C_2,\dots,C_n\)，若函數\(f(z)\)在以C和\(C_1,C_2,\dots,C_n\)為邊界的多連通域上解析，則：
\[\oint_C f(z)dz=\sum_{k=1}^n\oint_{C_k} f(z)dz \]其中C與\(C_1,C_2,\dots,C_n\)均取__逆時針方向__。
5. 復變函數積分的基本公式
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柯西積分公式
如果函數\(f(z)\)在區域D內處處解析，C為D內的任何一條簡單正向閉曲線，其內部完全含於D,\(z_0\)為C內任何一點，則：
\[f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz \] -
高階導數公式
\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz,n=1,2,\dots,n \]