復變函數系列（三 ） - 復變函數的積分

復變函數的積分

Author : Benjamin142857

Date : 2018/10/1

目錄

• 復變函數的積分
  • 1. 有關的幾個定理與公式
    • 1.1 C-R 方程
    • 1.2 C-G 定理
    • 1.3 圈圈公式
    • 1.4 復合閉路定理
    • 1.5 Cauchy積分公式
    • 1.6 高階導數公式
    • 1.7 Laplace方程
  • 2. 常見形式的復變函數積分
    • [A] $\int_cf(z)dz$ : 簡單非閉合曲線積分
    • [B] $\oint_cf(z)dz$ : 任意函數閉合曲線積分
    • [C1] $\oint_c\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz$ : 純分母奇點函數積分 - 單奇點
    • [C2] $\oint_c \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}dz$ : 純分母奇點函數積分 - 多奇點
    • [D1] $\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)}dz$ : 帶分子變量分母奇點函數積分 - 一次單奇點
    • [D2] $\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz$ : 帶分子變量分母奇點函數積分 - 一次多奇點
    • [D3] $\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^5}dz$ : 帶分子變量分母奇點函數積分 - 高次單奇點
    • [D4] $\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)2(z-z_2)3}dz$ : 帶分子變量分母奇點函數積分 - 高次多奇點
  • 3. 調和函數與偏微分法

1. 有關的幾個定理與公式

1.1 C-R 方程

Cauchy Riemann equation - 柯西黎曼方程，對於 \(f(z) = u + iv\)

\[\frac{\part u}{\part x} = \frac{\part v}{\part y} \\ \frac{\part u}{\part y} = -\frac{\part v}{\part x} \]

1.2 C-G 定理

Cauchy Goursat theorem - 柯西古薩定理，對於 \(f(z)\) 在D內解析

\[\oint_cf(z)dz=0 \]

1.3 圈圈公式

\(c : |z-z_0|=r\)

\[\oint_{c}\frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}} = \begin{cases} 2\pi i，(n=0) \\ 0，(n\neq0)\end{cases} \]

1.4 復合閉路定理

\(c\) 含 \(n\) 個奇點，每個奇點可以畫個 \(c_k\) 小圓，\(k=1,2,...,n\)

\[\oint_cf(z)dz = \sum_{k=1}^n\oint_{c_k}f(z)dz \]

1.5 Cauchy積分公式

\(f(z)\) 在 \(z_0\) 連續

\[\oint_c\frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2\pi if(z_0) \]

1.6 高階導數公式

\[f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \]

1.7 Laplace方程

拉普拉斯方程，對於函數 \(\phi(x, y)\)

\[\frac{\part^2\phi}{\part x^2} +\frac{\part^2\phi}{\part y^2}=0 \]

2. 常見形式的復變函數積分

[A] \(\int_cf(z)dz\) : 簡單非閉合曲線積分

一般題目所給出的積分路徑 \(c\) 在 \(f(z)\) 的解析區域內或 \(f(z)\) 全平面解析，根據 C-G定理，積分與路徑無關，轉為x,y重積分

例 ：求 \(\int_{c}\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(x\in [0\rightarrow 2])\)

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\[\int_c \overline z dz \\= \int_{(0, 0)}^{(2,0)}x-iydz + \int_{(2, 0)}^{(2,8)}x-iydz \\= \int_0^2xdx + \int_0^8(2-iy)idy\\=34+8i \]

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路徑未必在解析區域內的萬能做法，但計算復雜

例 ：求 \(\int_{c}\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(u(t)-u(t+2))\)

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\(x = t\)，\(y = t^3\)，\(t\in (0,2)\)

\(z = t+it^3\)

\(f(z) = t-it^3\)

\(\int_c \overline z dz = \int_0^2t-it^3d(t+it^3) = \int_0^2t+3t^5+i2t^3dt=34+8i\)

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[B] \(\oint_cf(z)dz\) : 任意函數閉合曲線積分

若在解析區域， C-G定理

\[\oint_C f(z)dz = 0 \]

[C1] \(\oint_c\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz\) : 純分母奇點函數積分 - 單奇點

[圈圈公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{1}{(z-1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

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\[\oint_{c}\frac{1}{(z-1)} dz = 2\pi i \]

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[C2] \(\oint_c \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 純分母奇點函數積分 - 多奇點

[復合閉路定理 + 圈圈公式 + Cauchy積分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{1}{(z-1)(z+1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

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\[\oint_{c}\frac{1}{(z-1)(z+1)} dz\\=\oint_{c1}\frac{\frac{z}{z+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{z-1}}{(z+1)}dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{1}{1+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{1}{-1-1}}{(z+1)}dz \\= 0 \]

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[D1] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)}dz\) : 帶分子變量分母奇點函數積分 - 一次單奇點

[ 圈圈公式 + Cauchy積分公式 ]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

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\[\oint_{c}\frac{z}{(z-1)} dz \\= \oint_{c}\frac{1}{(z-1)}dz \\= 2\pi i \]

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[D2] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 帶分子變量分母奇點函數積分 - 一次多奇點

[復合閉路定理 + 圈圈公式 + Cauchy積分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)(z+1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

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\[\oint_{c}\frac{z}{(z-1)(z+1)} dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{z}{z+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{z-1}}{(z+1)}dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{1}{1+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{-1}{-1-1}}{(z+1)}dz \\= 2\pi i \]

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[D3] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^5}dz\) : 帶分子變量分母奇點函數積分 - 高次單奇點

[高階導數公式 + 圈圈公式 + Cauchy積分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^5} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

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\[\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^5} dz \\= \frac{2\pi i}{4!}[z^{(4)}|_{z=1}]\\=0 \]

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[D4] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)^2(z-z_2)^3}dz\) : 帶分子變量分母奇點函數積分 - 高次多奇點

[高階導數公式 + 圈圈公式 + 復合閉路定理 + Cauchy積分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz,\ \ \ c : |z|=3\)

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\[\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz \\=\oint_{c1}\frac{\frac{z}{(z-2)^3}}{(z-1)^2}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{(z-1)^2}}{(z-2)^3}dz\\=\frac{2\pi i}{1!}[(\frac{z}{(z-2)^3})^{(1)}|_{z=2}] + \frac{2\pi i}{2!}[(\frac{z}{(z-1)^2})^{(2)}|_{z=1}]\\=不想算 \]

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3. 調和函數與偏微分法

調和函數 \(\phi(x, y)\)

• 在區域內具有二階連續偏導
• 符合Laplace方程

[C-R方程]\(\Downarrow\)

區域內的解析函數 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 實部與虛部均為調和函數

區域內的解析函數的虛部為實部的共軛調和函數

偏微分法

通過 \(u\) \(\Rightarrow\) \(v\) \(\Rightarrow\) \(u+iv\) 或 通過 \(v\) \(\Rightarrow\) \(u\) \(\Rightarrow\) \(u + iv\)