裴蜀定理

裴蜀定理：

定義：

若 \(a,b\) 不全為零，則存在 \(x,y\) ，使得 \(ax+by=gcd(a,b)\)

證明：

記住就行了，證明太長了不想寫了.....

例題：

CF510D Fox And Jumping

題意：

給出 \(n\) 張卡片，分別有 \(l_i\) 和 \(c_i\)。在一條無限長的紙帶上，你可以選擇花 c_i 的錢來購買卡片 \(i\) ，從此以后可以向左或向右跳 \(l_i\) 個單位。問你至少花多少元錢才能夠跳到紙帶上全部位置。若不行，輸出 \(-1\)。

分析：

先考慮兩個數情況：想要跳到每一個格子上，必須使得這些數通過數次相加/減得出的絕對值為 \(1\) ，進而想到了裴蜀定理。

推出：如果 \(a\) 與 \(b\) 互質，那么一定存在兩個整數 \(x,y\) ，使得 \(ax+by=1\)。

若選擇的卡牌通過數次相加或相減得出的絕對值為 \(1\) ，那么這些數一定互質.

因此問題轉化成：選擇若干個數使得 \(gcd\) 是 \(1\) 的最小代價。

考慮類似於背包的動態規划：設 \(gcd=x\) 的最小代價為 \(f_x\), 則式子為：

\[x=2,3,4,....,l_i,f_{gcd(x,l_i)}=min(f_{gcd(x,l_i)},f_x+c_i) \]

但是時間復雜度不行。

我們考慮消去無用狀態：用 \(map\) 記錄，每次訪問過的 \(x\) 進行轉移，差不多能過。

然后直接寫就行了。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

map<int,int> mp;
int a[1005],b[1005];
int n;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(pair<int,int> x:mp){
            int num=__gcd(a[i],x.first);
            int val=x.second+b[i];
            if(mp[num]==0) mp[num]=val;
            else mp[num]=min(mp[num],val);
        }
        if(mp[a[i]]==0) mp[a[i]]=b[i];
        else mp[a[i]]=min(mp[a[i]],b[i]);
    }
    if(mp[1]==0) puts("-1");
    else printf("%d\n",mp[1]);
    system("pause");
    return 0;
}