裴蜀定理（貝祖定理） 證明與應用

定理：對於給定的正整數a，b，方程有解的充要條件為c是gcd（a，b）的整數倍

證明：

充分性證明：

設gcd（a，b）=d，於是設，其中k1，k2互質

那么原等式等價於，即，其中k1，k2互質

那么這個方程等價於模線性方程，由拓展gcd知，該方程一定有解

那么該方程的一組解即為原方程的解

必要性證明：

采用反證法，假設c不是gcd（a，b）的倍數，於是：

設

那么：

兩邊同時除以d，有：

由於k1,x,k2,y,k3均為整數，而顯然不是整數，故原方程無解

這與方程有解矛盾，故c一定為gcd(a,b)的倍數

定理的推廣：

方程（其中a,b,c...n,f為整數）有解的充要條件是f為gcd（a,b,c,...,n）的整數倍

定理的應用：

給定一個序列{an}，求一個整數序列{bn}使得值最小（要求最小值為正數），求這個最小值

解：根據裴蜀定理的推廣，原式最小值即為gcd(a1,a2...an)

代碼（luogu4549）：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
int n;
int gcd(int x,int y)
{
    if(y==0)
    {
        return x;
    }
    return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
//  freopen("min.in","r",stdin);
//  freopen("min.out","w",stdout);
  scanf("%d",&n);
  int ans=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      int x;
      scanf("%d",&x);
      x=abs(x);
      if(x==0)
      {
      	continue;
      }
      ans=gcd(x,ans);
    }
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}