定理
$\large{ax+by=c,x\in Z^*,y\in Z^*}$成立的充要條件是$\large{\gcd(a,b)|c}$
證明
設$\large {s=\gcd(a,b)}$，顯然$\large{s|a}$，並且$\large {s|b}$
又因為$\large {x,y\in Z^*}$
所以$\large{s|ax,s|by}$
顯然要使得之前的式子成立，則必須滿足$\large c$是$\large a$和$\large b$的公約數的倍數
又因為$\large x$和$\large y$是正整數
所以$\large c$必然是$\large a,b$最大公約數的倍數。
因此，證得該定理成立
說明
該定理完全可以推廣到若干數的線性組合