關於擴展歐幾里得定理
眾所周知，擴展歐幾里得定理是用來求形如
(a,b,c皆為整數)這樣的方程的一組解[注，僅是一組解]的定理
它的原理比較復雜，本人學了挺久才懂了一點，這里就不談了，擴歐的核心是它的思想，它的思想可以用來解決許多題
該方程有解的條件 ：
要使(a，b，c皆為整數) 有解，我們設k=gcd(a,b)，可以將原方程寫成
的形式
即 
a，b，ｃ均為整數
一定是整數即
一定是ｋ的倍數
k|c 即 gcd(a,b)|c // k|c數學里為 c%k=0
由此可見，該方程有解的條件為c%gcd(a,b)=0
求解方法 ：
由於是求解的一組解，在方程有解的條件下，我們可以考慮先求出
的一組解，
為什么這樣考慮呢，這樣子變化有什么好處呢？當我們將原方程轉變為這樣的方程之后，實際上我們求出的x與y並不是
原方程的解，我們可以理解為轉變后的方程的解為x'與y'，實際上該方程是將原方程除以
c/gcd(a,b)后所得到的，所以原方程的解為
那么我們先求出
原方程的解便只需乘以c/gcd(a,b)就能得到了
另外說明，c=gcd(a,b)是原方程有解的最小情況，利用這個性質，裴蜀定理也就不難寫出來了
那么該如何求解呢？
眾所周知(又是這個詞，詞窮) gcd的寫法return b==0?a:gcd(b,a%b);(為了節約篇幅強行壓縮)關鍵的一步就是
gcd(a,b)==gcd(b,a%b)了，這個的成立性就不證明了，我們求解是需要利用到gcd的這個特性的
我們可以得到這樣一個方程
（這里的%顯示不出來就用mod代替了），然后我們將gcd(b,a%b)中的b和a代入原方程
那么可以得到gcd(b,a%b) = bx+(a%b)y,注意，此時的x與y也不是原方程的解，也可以理解為x',y'這樣子我們就可以得到
（這里是將gcd(a,b)的a，b反代入原方程），又因為電腦中的取模運算a%b是等價於a-a/b*b的
所以我們又可以將最后一個方程變成bx'+(a-a/b*b)y'，然后與第一個方程放在一起便有
,然后拆項移項，變成
，最后便能得出這樣的轉移方程
，有了這樣的轉移方程，那么我們可以遞歸地寫出代碼了，遞歸結束條件就是b==0時，此時的方程
ax+by=gcd(a,b)，b==0，所以就是ax=a,那么x=1，y=0
//已知a,b 求解 ax+by=1 void ex_gcd (int a,int b,int &x,int &y) { if (b==0){x=1,y=0;return;} ex_gcd(b,a%b,x,y); int tmp=x; x=y,y=tmp-a/b*y; } /* * 若求解 ax+by=c * △條件(是否有解) ： 滿足gcd(a,b)|c [c%gcd(a,b)==0] * 可以先求 ax+by=gcd(a,b) * 再將求得的x與y分別乘以c/gcd(a,b) */
那么擴展歐幾里得便講完了，下面說一下上文提到的裴蜀定理
裴蜀定理
題目描述
給出n個數(A1...An)現求一組整數序列(X1...Xn)使得S=A1X1+...AnXn>0,且S的值最小
輸入輸出格式
輸入格式：
第一行給出數字N,代表有N個數 下面一行給出N個數
輸出格式：
S的最小值
我們可以將A1X1+A2X2+...+AnXn看成許多個ax+by，那么我們要求的便是c的最小值，上文說過，c的最小值就是gcd(a,b)，所以我們只需求出所有的gcd便可
附上代碼
#include <cstdio> #include <cmath> using namespace std; int ans,n,t; int gcd (int a,int b) { return !b?a:gcd(b,a%b); } int main () { scanf("%d",&n); scanf("%d",&ans);//ans初始賦值為第一個數 while (--n){ scanf("%d",&t); t=abs(t); ans=abs(gcd(ans,t)); } printf("%d",ans); return 0; }注，如若有誤或者哪里講得不清楚，請聯系本人更改或者在下方留言，謝謝啦~\(≧▽≦)/~