裴蜀定理

裴蜀定理是什么呢？

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裴蜀（貝祖）定理，就是關於x, y的不定方程 ax + by = c ( x,y∈Z )有整數解的充要條件是gcd(a,b) | c

 

證明：

　　首先，

　　∵ gcd(a,b) | a，gcd(a,b) | b

　　又 x,y ∈ Z，

　　∴ gcd(a,b) | ax, gcd(a,b) | by

　　　gcd(a,b) | ax + by

　　∴ ax + by = k * gcd(a,b) ,k∈N*

　　∴ 原不定方程可化為 k * gcd (a,b) = c ,k∈N*

　　又 k∈N*,gcd(a,b)∈Z,c∈Z

　　∴ gcd(a,b) | c。

　　∴ ax+by = c 的最小整數解就是 gcd(a,b).

看一下這道模板.

給出n個數(A1...An)現求一組整數序列(X1...Xn)使得S=A1X1+...AnXn>0,且S的值最小

顯然如果根據裴蜀定理，A1X1+A2X2的minnum = gcd(A1,A2)。

同理推廣一下，也就是所有數的gcd。

注意一下有負數的時候把負數轉換成正數再取gcd。