對任意兩個整數 \(a\)、\(b\)，設 \(d = \gcd (a,b)\)。那么關於未知數 \(x\) 和 \(y\) 的一元一次不定方程（裴蜀等式） \(ax + by = m\) 有整數解 \((x,y)\) 當且僅當 \(m\) 是 \(d\) 的整數倍。裴蜀等式有解釋必然有無窮多個解。
證明：
如果 \(a\) 和 \(b\) 中有一個是 \(0\)，比如 \(a = 0\)，那么它們兩個的最大公約數是 \(b\)。
此時裴蜀等式變為 \(by = m\)，它有整數解 \((x,y)\) 當且僅當 \(m\) 是 \(b\) 的倍數，而且有解時必然有無窮多個解，因為 \(x\) 可以是任何整數。定理成立。
以下設 \(a\) 和 \(b\) 都不為 \(0\)。
設 \(A = \{ xa + yb ; (x;y) \in \mathbb{Z^2} \}\)，下面證明 \(A\) 中的最小正元素是 \(\gcd (a,b)\)。
首先，\(A \cap \mathbb{N}^*\) 不是空集（至少包含 \(\vert a \vert\) 和 \(\vert b \vert\)），因此由於自然數集合是良序的，\(A\) 中存在最小正元素 \(d_0 = x_0a + y_0b\)。考慮 \(A\) 中任意一個正元素 \(p(=x_1a + y_1b)\) 對 \(d_0\) 的帶余除法：
設 \(p = qd_0+r\)，其中 \(q\) 為正整數，\(0 \le r <d_0\)。但是
\(r = p - qd_0 = x_1a +y_1b - q(x_0a + y_0b) = (x_1 - qx_0)a + (y_1 - qy_0)b \in A\).
因此 \(r = 0\)，\(d_0 \mid p\)。也就是說，\(A\) 中任意一個正元素 \(p\) 都是 \(d_0\) 的倍數。特別地：\(d_0 \mid a\)、\(d_0 \mid b\)。因此 \(d_0\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的公約數。
另一方面，對 \(a\) 和 \(b\) 的任意正公約數 \(d\)，設 \(a = kd\)、\(b=ld\) 那么
\(d_0 = x_0a + y_0b = (x_0k + y_0l)d\).
因此 \(d \mid d_0\)。所以 \(d_0 = \gcd (a,b)\)。
在方程 \(ax + by = m\) 中，如果 \(m = m_0 d_0\)，那么方程顯然有無窮多個解：
\(\left\{ \left( m_0 x_0 + \dfrac{kb}{d} , \dfrac{m}{d} y_0 - \dfrac{ka}{d} \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\).
相反的，如果 \(ax + by =m\) 有整數解，那么 \(\vert m \vert \in A\)，於是由前可知 \(d_0 \mid \vert m \vert\)（即 \(d_0 \mid m\)）。
\(m = 1\) 時，方程有解當且僅當 \(a\)、\(b\) 互質。方程有解時，解的集合是：
\(\left\{ \left( \dfrac{m}{d} x_0 + \dfrac{kb}{d} , \dfrac{m}{d} y_0 - \dfrac{ka}{d} \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\).
其中 \((x_0 , y_0)\) 是方程 \(ax + by = d\) 的一個解，可由輾轉相除法得到。
所有解中，恰有兩解 \((x,y)\) 滿足 \(\vert x \vert \le \vert b/d \vert\) 及 \(\vert y \vert \le \vert a/d \vert\)，等號只會在 \(a\) 及 \(b\) 其中一個是另一個的倍數時成立。輾轉相除法給出的解會是這兩解中的一個。