今天終於搞明白了卷積定理的證明，以前一直拿來就用的“時域卷積等於頻域點積”終於得以揭秘：
直接證明一下連續情況好了，很容易推廣到離散域（我不會）：
傅里葉變換的定義是：
FT(f) = integrate [-inf,+inf] f(t)*e^(-i*w*t) dt
卷積的定義是(先用@冒充一下卷積的算符qwq,學完latex一定改)：
f @ g = integrate [-inf,+inf] f(k)*g(t-k) dk
很容易證明傅里葉變換的時移(Time Shift)性質：
FT( f(t-ts) ) = integrate [-inf,+inf] f(t-ts)*e^(-i*w*t) dt
令u = (t-ts)
= integrate [-inf,+inf] f(u)*e^(-i*w*(u+ts)) dt
= e^(-i*w*ts)* integrate [-inf,+inf] f(u) du
= FT(f)*e^(-i*w*ts)
綜上： FT( f(t-ts) ) = FT(f)*e^(-i*w*ts)
利用此引理可以很容易地證明卷積定理。
首先把卷積定理"時域卷積等於頻域點積"化為數學語言：
FT(f @ g) = FT(f)*FT(g)
下面對它進行證明：
FT(f @ g) = integrate[-inf,+inf] [ integrate[-inf,+inf] f(k)*g(t-k) dk ] *e^(-i*w*t) dt
= double_integrate [-inf,+inf] f(k)*g(t-k)*e^(-i*w*t) d(k,t)
= integrate [-inf,+inf] f(k)* [ integrate [-inf,+inf] g(t-k)*e^(-i*w*t) dt ] dk
= integrate [-inf,+inf] f(k)*FT(g)*e^(-i*w*k) dk
= FT(f)*FT(g)
證畢
就是這么簡單，抽離無關變量，交換積分順序，利用時移就可以輕松證明了~
后記：
學latex是不可能的，這輩子是不可能學latex的