勾股定理的若干證明

  勾股定理又稱商高定理、畢達哥拉斯定理、百牛定理，是幾何學的兩大寶藏之一。本文整理了勾股定理的若干證明方法。

方法一（趙爽弦圖）（內弦法）

  把一個邊長為\(c\)的正方形分割成四個直角邊分別為\(a\)和\(b\)的直角三角形和一個小正方形。

證： $$ 4\cdot \frac{ab}{2}+(b-a)^2=c^2 $$ $$ 2ab+a^2-2ab+b^2=c^2 $$ $$ a^2+b^2=c^2 $$

方法二（加菲爾德證法）

  在直角梯形\(ABCD\)中，\(\angle ABC=\angle BCD=90^{\circ}\)，\(BC=CD=a\)，\(AB=EC=b\),\(AE=ED=c\).

證： $$ S_{\bigtriangleup ABE}=S_{\bigtriangleup ECD}=\frac{ab}{2} $$ $$ S_{\bigtriangleup ADE}=\frac{c^2}{2} $$ $$ S_{\text{梯形}ABCD}=\frac{(a+b)(a+b)}{2} $$ $$ \because S_{\bigtriangleup ABE}+S_{\bigtriangleup ECD}+S_{\bigtriangleup ADE}=S_{\text{梯形}ABCD} $$ $$ \therefore\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}=\frac{(a+b)^2}{2} $$ $$ \therefore 2ab+c^2=(a+b)^2 $$ $$ \therefore a^2+b^2=c^2 $$

方法三（加菲爾德證法變式）（外弦法）

  把一個邊長為\(c\)的小正方形放在邊長為\(a+b\)的大正方形之中，是小正方形的每個頂點都落在大正方形的邊上。

證： $$ (a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2 $$ $$ a^2+b^2=c^2 $$

方法四（青朱出入圖）

  一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方，青朱兩個正方形經過分割、拼合成以弦長為邊長的新正方形。

具體可參考葉建忠.青朱出入圖[J].教育教學論壇,2010(05):112-113.

方法五（歐幾里得證法）

  這種證明方法出自《幾何原本》。

  現有一直角三角形\(ABC\)，\(\angle ACB=90^{\circ}\)，\(AB=c\)，\(AC=b\)，\(BC=a\). 分別根據三角形的三條邊作三個正方形。過點\(C\)作\(CK\perp AB\)，延長\(CK\)交\(DE\)與點\(J\)，連接\(DC\)，\(IB\).

\(\because\text{矩形}ADJK\)與\(\bigtriangleup ACD\)等低同高，\(\text{正方形}ACHI\)與\(\bigtriangleup ABK\)等低同高
\(\therefore S_{\text{矩形}ADJK}=4S_{\bigtriangleup ACD}\)，\(S_{\text{正方形}ACHI}=4S_{\bigtriangleup AIB}\)
\(\because\bigtriangleup ACD\cong\bigtriangleup AIB\)
\(\therefore S_{\bigtriangleup ACD}=S_{\bigtriangleup AIB}\)
\(\therefore S_{\text{矩形}ADJK}=S_{\text{正方形}ACHI}\)
同理可證\(S_{\text{矩形}BEJK}=S_{\text{正方形}BCGF}\)
\(\therefore S_{\text{正方形}ACHI}+S_{\text{正方形}BCGF}=S_{\text{正方形}ABED}\)
\(\therefore a^2+b^2=c^2\)