勾股定理的若干证明

  勾股定理又称商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理，是几何学的两大宝藏之一。本文整理了勾股定理的若干证明方法。

方法一（赵爽弦图）（內弦法）

  把一个边长为\(c\)的正方形分割成四个直角边分别为\(a\)和\(b\)的直角三角形和一个小正方形。

证： $$ 4\cdot \frac{ab}{2}+(b-a)^2=c^2 $$ $$ 2ab+a^2-2ab+b^2=c^2 $$ $$ a^2+b^2=c^2 $$

方法二（加菲尔德证法）

  在直角梯形\(ABCD\)中，\(\angle ABC=\angle BCD=90^{\circ}\)，\(BC=CD=a\)，\(AB=EC=b\),\(AE=ED=c\).

证： $$ S_{\bigtriangleup ABE}=S_{\bigtriangleup ECD}=\frac{ab}{2} $$ $$ S_{\bigtriangleup ADE}=\frac{c^2}{2} $$ $$ S_{\text{梯形}ABCD}=\frac{(a+b)(a+b)}{2} $$ $$ \because S_{\bigtriangleup ABE}+S_{\bigtriangleup ECD}+S_{\bigtriangleup ADE}=S_{\text{梯形}ABCD} $$ $$ \therefore\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}=\frac{(a+b)^2}{2} $$ $$ \therefore 2ab+c^2=(a+b)^2 $$ $$ \therefore a^2+b^2=c^2 $$

方法三（加菲尔德证法变式）（外弦法）

  把一个边长为\(c\)的小正方形放在边长为\(a+b\)的大正方形之中，是小正方形的每个顶点都落在大正方形的边上。

证： $$ (a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2 $$ $$ a^2+b^2=c^2 $$

方法四（青朱出入图）

  一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方，青朱两个正方形经过分割、拼合成以弦长为边长的新正方形。

具体可参考叶建忠.青朱出入图[J].教育教学论坛,2010(05):112-113.

方法五（欧几里得证法）

  这种证明方法出自《几何原本》。

  现有一直角三角形\(ABC\)，\(\angle ACB=90^{\circ}\)，\(AB=c\)，\(AC=b\)，\(BC=a\). 分别根据三角形的三条边作三个正方形。过点\(C\)作\(CK\perp AB\)，延长\(CK\)交\(DE\)与点\(J\)，连接\(DC\)，\(IB\).

\(\because\text{矩形}ADJK\)与\(\bigtriangleup ACD\)等低同高，\(\text{正方形}ACHI\)与\(\bigtriangleup ABK\)等低同高
\(\therefore S_{\text{矩形}ADJK}=4S_{\bigtriangleup ACD}\)，\(S_{\text{正方形}ACHI}=4S_{\bigtriangleup AIB}\)
\(\because\bigtriangleup ACD\cong\bigtriangleup AIB\)
\(\therefore S_{\bigtriangleup ACD}=S_{\bigtriangleup AIB}\)
\(\therefore S_{\text{矩形}ADJK}=S_{\text{正方形}ACHI}\)
同理可证\(S_{\text{矩形}BEJK}=S_{\text{正方形}BCGF}\)
\(\therefore S_{\text{正方形}ACHI}+S_{\text{正方形}BCGF}=S_{\text{正方形}ABED}\)
\(\therefore a^2+b^2=c^2\)