寫在前面：由於非科班出身，這里的證明過程筆者結合資料，摻雜了大量想象元素，因此讀者閱讀時應該謹慎取舍。
首先在給出高斯定理證明之前，我們要提前交代幾個概念或者說理念：
微積分的思想：
其實微積分的思想真的是博大精深令人嘆服，它最初進入我們的視野是求解運動過程中的瞬時速度，我們基於x-t圖像，將區間無限分割，這導致△t趨近於0，這種極限的思想使得我們能夠完成瞬時速度的計算，這其實就是一種微分操作，為了更好表征這種做法，數學家就發明了導數這個東西，聯系導數的定義，會發現數學概念變得如此的自然可親。
自然界是對稱的，正是基於對對稱性的深信不疑使得法拉第發現了電磁感應，同樣在這里，我們有了微分這種無限分解性質的操作，對應着我們應該有一種取一個微小元然后堆積起來的操作，那么顯而易見，這就是積分了。需要進行積分的問題非常常見，例如基於v-t圖像的勻加速運動如何求解位移？基於極限這一核心思想，我們取一個微小元dt，由於其無限小的特性，這里我們可將其近似看成勻速運動，即dx=vdt，然后我們將所有的微小元積起來，就會得到整個過程的位移，這個過程也就是所謂的積分。而為了更好的表述這個過程，我們同樣需要有力的數學工具，考慮到它和微分是互逆的運算過程(這里可以聯系一下離散的關系論？)，我們直接基於導數來定義積分運算即可。積分的技術在我們處理曲線曲面問題的時候會產生重要的作用。
以上是對微積分核心思想的一個簡化闡述，思想簡潔明了但是其統治性卻是非常強大的，隨着學習微積分的深入會發現這門科學是多么的強大。當然這里限於筆者水平給出的描述並不嚴謹，這里還請牛頓大哥海涵，暑假再去拜讀一下你的《自然哲學的數學原理》。
立體角：平面角我們非常熟悉，但是擴展到立體當中，我們如何度量一個角的大小呢？比如一個圓錐體的頂點和它所有母線圍成的那個角，顯然這里要給出新的定義。回憶起平面角的定義過程，在單位圓中，我們取一段弧長ds，那么其對應角的弧度就是dθ=ds/r。而在立體角當中，我們采用類似的辦法，在單位球中，去一塊面積元ds，這對應的立體角的弧度就是dΩ=ds/r^2，考慮更一般的情況，即dΩ=cosθds/r^2，有.我們將這兩個定義式進行積分運算，能夠看到，平面中周角的度數是2π，空間中的周角的度數是4π。
電通量：電通量其實和磁通量是對應的物理量，在法拉第創造場這個概念的時候，人們應該發現無論是電場還是磁場，都太過抽象，因此物理學家需要引入新的概念來描述場中某點的特征(包括E、B)，由此電通量和磁通量誕生了。在這里筆者融入想象的元素，沒有任何理論資料做基礎：電場、磁場包括重力場，都是一種能量場，而能量常常被描述成流的形式(這很可能啟發自自然界中的水流)，因此這里我們可以將某個截面通過的“流”的大小來描述場中能量的大小，結合場強E、B的基本概念，我們能夠很自然的給出定義式：
φ=ES(BS),微分形式：dφ=BdS(EdS).
場強E的定義式：這個東西聯想高中課本某一節的一個插畫，E = Q/4πεr^2，這是一個實驗定律。
那么基於以上的內容，我們就可以很容易的進行對高斯定理的證明：
提出問題：對於+q的點電荷，包圍它的封閉曲線上的電通量有着怎樣的分布規律呢？
先從一個簡單的例子分析起，點電荷在一個球體的中心，即求球面電通量。
根據電通量的定義和積分的技術。
先來看一個最特殊的情況：取圓面上一個面積微小元ds有dφ=Eds，等式兩邊做曲面積分並帶入E，經過整理可得：φ = q/ε.
那么來破壞一下這個完美的特殊情況，如果+q電荷不在圓心上呢？如果封閉曲面不是圓周呢？在這里的思路是將復雜情況往簡單情況上靠攏，首先我們將+q電荷放在球心上做出一個球，球面和外層的封閉曲面形成了一一映射，容易看到穿過兩個面的電通是一樣的，但是需要注意的是，對於外圍的曲面，取微小元時，應有dφ=Edscosθ，進行如上的曲面積分運算，我們會得到dφ=(qdScosθ)/(4πεr^2)，結合一般情況下的立體角的定義，我們最終經過整理可得，φ = q/ε.
因此，對於一個封閉曲面內任意多個的電荷，我們都采用相同的計算方法，有φ = 1/ε∑q.