問題引入：
以充滿各向同性的電介質平行板電容器為例，在正極板與電介質交界處去圓柱體高斯面, 利用高斯定律有：
\[\iint_{\Sigma}\vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}(Q_0 - Q') \]
其中，\(Q_0\)表示自由電荷，\(Q'\)表示極化電荷。
可見在電介質中計算電場與\(Q'\)有關，直接計算很困難。
問題分析
由於\(Q = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}Q_0\), 真空電容率\(\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r\)
從而：
\[\iint_{\Sigma}\vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q_0}{\varepsilon_0 \varepsilon_r} \]
定義:點位移矢量:\(D \overset{def}{=} \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r\vec{E} = \varepsilon\vec{E}\)
從而上式簡化為:
\[\iint_{\Sigma}\vec{D}\cdot d\vec{S} = \sum_{i = 1}Q_{0i} \]
有電介質時的高斯定理
\[\iint_{\Sigma}\vec{D}\cdot d\vec{S} = Q_0 \]
說明:
1. 電位移矢量\(\vec{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}=\varepsilon\vec{E}=\vec{P}+\varepsilon_0\vec{E}\)
2.公式考慮了極化電荷的影響。
3.電位移線起於正的自由電荷而止於負的自由電荷.