電場線和電通量
法拉第想出一種形象化的方法描述電場——電場線，電場線上每一點的切線方向表示該點電場的方向，電場線的疏密表示電場的大小。下面為幾種帶電體系的電場線。
圖為點電荷的電場線
圖為一對等量異號電荷的電場線
圖為一對等量同號電荷的電場線
一對不等量異號電荷的電場線
帶電平行板之間的電場線
定量上表示某點場強的大小，可以在這一點做一個與電場線垂直的小面元\(\mathrm dS_{\perp}\)，如圖1所示，通過此小面元的電場線數目為\(\mathrm dN\)，則電場的大小為：
\begin{equation*} E=C\frac{\mathrm dN}{\mathrm dS_{\perp}}=\frac{\mathrm d\Phi_E}{\mathrm dS_{\perp}} \end{equation*}
圖1 在電場中某一點取面元
由上式得，
\begin{equation*} \mathrm d\Phi_E=E\mathrm dS_{\perp} \end{equation*}
這個量我們稱為電通量，表示通過與電場方向垂直的一個面元的電場線的數目。
對於一個一般的面元，也可以定義電通量，如圖2所示，面元 \(\mathrm dS\)與電場方向不垂直。由圖2明顯看出，通過面元\(\mathrm dS\)的電場線數目與通過面元\(\mathrm dS_{\perp}\)的數目是一樣的，即
\begin{equation*} \mathrm d\Phi_E=E\mathrm dS_{\perp}=E\mathrm dS\cos\theta \end{equation*}
圖2 通過面元 \(\mathrm dS\) 的電通量
你也可以把電場分解成兩部分，垂直於面元的電場\(\vec{E}\_{\perp}\)和平行於面元的電場\(\vec{E}\_{\parallel}\)，后者通過面元的電通量為0，所以電場\(\vec{E}\)通過面元的電通量即電場\(\vec{E}\_{\perp}\)通過面元的電通量，即
\begin{equation*} \mathrm d\Phi_E=\mathrm d\Phi_{E_{\perp}}=E\cos\theta\mathrm dS=\vec{E}\cdot\hat{n}\mathrm dS=\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}
其中，\(\hat{n}\)為面元的法向單位向量，面元用矢量面元表示，\(d\vec{S}=\hat{n}\mathrm dS\)。上式就是電通量的定義式
\begin{equation*} \mathrm d\Phi_E=\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}
由上式可見，電通量可正可負可為零，符號由電場\(\vec{E}\)的方向與面元法向的夾角 \(\theta\) 決定，如圖3所示。
圖3 電場 \(\vec{E}\) 的方向與面元法向 \(\hat{n}\) 的夾角 \(\theta\)
要求出電場通過一個一般曲面\(S\)的電通量，需要把曲面分割成許許多多的小面元，求出每個小面元的電通量，然后積分，即：
\begin{equation*} \Phi_E=\int\mathrm d\Phi_E=\int_S\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}
圖4 電場通過一個一般曲面\(S\)的電通量
電場通過一個閉合曲面\(S\)的電通量為：
\begin{equation*} \Phi_E=\int\mathrm d\Phi_E=\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}
對於不閉合的曲面，法向矢量的正方向可以任意選取，但是閉合曲面把空間分成內外兩個部分，法向矢量正方向的兩種取向不等價。我們約定閉合曲面的法向矢量的正方向是指向曲面外部的方向。如圖5所示，在面元\(\mathrm d\vec{S}\_1\)處，\(\mathrm d\Phi\_E>0\)，電場線從閉合曲面穿出到外部空間。在面元\(\mathrm d\vec{S}\_2\)處，\(\mathrm d\Phi\_E<0\)，電場線從外部穿入閉合曲面內部空間。那么\(\Phi\_E\)就是凈穿出閉合曲面的電場線的數目。
圖5 電場通過一個閉合曲面\(S\)的電通量
練習1 勻強電場\(\vec{E}\) 里一個半徑為\(r\)小圓盤，圓盤法向\(\hat{n}\)與電場方向夾角為\(30^{\circ}\)，求通過圓盤的電通量。如果 \(\hat{n}\perp \vec{E}\)，電通量為多少，如果 \(\hat{n}\parallel \vec{E}\)，電通量為多少。
練習1 的圖
練習2 非勻強電場\(\vec{E}=3x\hat{i}+4\hat{j}\)，電場線穿過一個立方體，如圖所示，求電場線穿過此立方體表面的電通量。
練習2 的圖
練習3 以點電荷\(q\)為中心做以半徑為\(r\)的球面，求點電荷\(q\)的電場穿過球面的電通量。
練習3 的圖
高斯定理
高斯定理與庫侖定律等價，高斯定理是描述電荷與電場關系的另外一種方法。高斯定理以其提出者德國數學家高斯的名字命名（1835年提出，1867年發表，發表的時候高斯已經去世12年了）。
點電荷\(q\)的電場穿過以其為中心的球面的電通量為
\begin{equation*} \begin{split} \Phi_E=& \oint_S \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S}=\oint_S\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat{r}\cdot\mathrm d\vec{S}=\oint_S\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathrm dS \\ =&\int\int\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}r^2\sin\theta\mathrm d \theta \mathrm d\phi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^{\pi}\sin\theta\mathrm d \theta \int_0^{2\pi} \mathrm d\phi \\ =&\frac{q}{\varepsilon_0} \end{split} \end{equation*}
其中，球面上面積元\(\mathrm dS=r^2\sin\theta\mathrm d \theta \mathrm d\phi\)，如下圖所示。
圖為球面上的面積元
這個結果與球面半徑無關，只與球心的電荷量有關。這意味着，對以點電荷\(q\) 為球心的任意球面來說，通過它們的電通量都相等，為\(q/\varepsilon_0\)，用電場線的圖像來說，通過各球面的電場線的條數都相等，也就是說，從點電荷 \(q\) 發出的電場線連續地延伸到無限遠處，中間電場線不中斷，也不突然增加電場線。
現在設想點電荷在任意閉合曲面\(S'\)內，\(S'\)面與球面 \(S\) 包圍同一個點電荷 \(q\)，如圖6所示，由於電場線的連續性，則通過\(S'\)面與球面 \(S\)的電場線的數目是一樣的。因此通過任意形狀的包圍點電荷 \(q\) 的閉合曲面的電通量都相等，為\(q/\varepsilon_0\)。
圖6 通過包圍 \(q\) 的任意閉合曲面的電通量
如果閉合曲面\(S'\)沒有包圍點電荷 \(q\)，如圖7所示，由電場線的連續性可知，電場線從一側進入\(S'\)，一定會從另一側穿出\(S'\)，即凈穿過\(S'\)的電通量為零。
圖7 通過不包圍 \(q\) 的任意閉合曲面的電通量
以上討論的是單個點電荷的電場，現在考慮一個點電荷系，組成電荷為\(q_1,q_2,q_3,\dots,q_n\)，在空間產生的電場為：
\begin{equation*} \vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\dots+\vec{E}_n=\sum_{i=1}^n\vec{E}_i \end{equation*}
其中 \(\vec{E}\_i\) 為點電荷 \(q\_i\) 產生的電場。這個點電荷系的電場 \(\vec{E}\)通過某任意封閉曲面的電通量為：
\begin{equation*} \Phi_E=\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm d \vec{S} =\oint_S \left (\sum_{i=1}^n\vec{E}_i \right )\cdot\mathrm d \vec{S}=\sum_{i=1}^n\oint_S\vec{E}_i\cdot\mathrm d \vec{S} =\sum_{i=1}^n\Phi_{Ei} \end{equation*}
如果電荷 \(q_i\) 被封閉在曲面\(S\)內部，則\(\Phi_{Ei}=q_i/\varepsilon_0\)，如果電荷 \(q_i\) 在曲面\(S\)外部，則\(\Phi_{Ei}=0\)，所以上式的結果為：
\begin{equation*} \Phi_E =\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm d \vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{i\in S}q_i=\frac{q_{內}}{\varepsilon_0} \end{equation*}
此即為高斯定理：真空中的任何靜電場中,穿過任一閉合曲面的電通量,等於該曲面所包圍的電荷電量的代數和乘以 \(1/\varepsilon_0\)。閉合曲面可能是也可能不是實際物理對象，只是為了應用高斯定理，因此也稱為高斯面。
對於高斯定理要注意兩點：(1) 閉合曲面處的電場\(\vec{E}\) 是所有電荷產生的，包括曲面外的電荷。(2)僅閉合曲面內的電荷對高斯面的電場強度通量有貢獻。
練習4 如圖為電偶極子的電場線，分別求出通過A、B、C、D 四個閉合曲面的電通量。
利用立體角概念可以對高斯定理做嚴格證明，詳見趙凱華《電磁學》。
參考資料：
- 張三慧《電磁學》
- Chapter 4 of Electricity, Magnetism, and Light
- Young and Freedman, University Physics 13th Ed