電磁學8.磁場中的運動電荷

電子伏

假設有兩個導體，都是等勢體，導體A的電勢為 \(V_A\) ,導體B的電勢為 \(V_B\) ,\(V_A>V_B\) 。兩個導體處於正空中，在導體A表面釋放一個正電荷 \(+q\) ,在電場作用下電荷向B移動，電場分布異常復雜，但最終會到達B。

問題是：如果以初始速度為0釋放，到達B時速度是多少？

電場對電荷做功，因為是保守場，路徑不再重要。

\[W=\int_A^B \overset{\rightharpoonup }{F} \, d\overset{\rightharpoonup }{l} \]

又

\[\overset{\rightharpoonup }{F}= q\overset{\rightharpoonup }{E} \]

可得

\[W=\int_A^B q\overset{\rightharpoonup }{E} \, d\overset{\rightharpoonup }{l} \]

電場乘以兩邊之間的距離就是電勢差，故

\[W= q（V_A-V_B） \]

加入實際數據，考慮是質子在移動，質量 \(m=1.7*10^{-27}\) kg，質子的電荷和電子是相同的，為 \(1.6*10^{-19}\) C.

假設AB之間的電勢差為1百萬伏特。

可以計算出來做功為 \(W=1.6*10^{-13}J\) ,這個功等於質子到達B時獲得的動能，但幾乎不會有物理學家用這種說法，而是把這個質子的動能叫做1兆電子伏（1MeV） 。

電子伏是一個電子通過1伏的電勢差獲得的能量，這是電子伏的定義。

所以可以稱之為擁有1MeV能量的質子。

又質子到達B時獲得的動能等於W，可得

\[1.6*10^{-13}J=\frac{\text{mv}^2}{2} \]

可以計算出質子的速度為 \(v=1.4*10^7m/s\)，大約為光速的5%，故不用相對論修正。

在磁場中的運動電荷

洛倫茲力等於電荷乘以她本身的速度和所在磁場的叉積：

\[\overset{\rightharpoonup }{F}=q（\overset{\rightharpoonup }{v}\Lambda \overset{\rightharpoonup }{B}） \]

洛倫茲力垂直於速度和磁場，洛倫茲力不會改變電荷的動能（不會做功），但會改變電荷運動的方向。

假設電荷 \(q\) 以 \(v\) 速率運動，磁場方向垂直於紙面向外，此時速度和磁場垂直，如圖

電荷將在洛倫茲力下做圓周運動，這個洛倫茲力又是離心力，假設圓周半徑為 \(R\) ,則

\[F=qvB=\frac{\text{mv}^2}{R} \]

其中m為電荷的質量。

可得

\[R=\frac{\text{mv}}{\text{qB}} \]

從式子中可知，電荷q越大，磁場越強，洛倫茲力越大，半徑越小；

電荷的質量越大，慣性越大，半徑越大。

電荷運動時做的功為電荷量乘以通過的電勢差，也等於電荷在該點的動能：

\[q\Delta V_{diff}=\frac{\text{mv}^2}{2} \]

其中大寫的V為電勢差，乘以電荷量就是功。

用電勢差替換速度，可得

\[R=\sqrt{\frac{2 \text{mV}}{\text{qB}^2}} \]

兩個式子代表的意義相同，只是表達方式不一樣。

這兩個式子只在電荷運動速度遠小於光速的條件下才成立，否則就需要用相對論來修正。這里不做延申（理解不能==）。

質譜儀基本原理

區分同種元素的不同同位素。

例如，拿鈾來說，鈾的99.3%是鈾238（92個質子，92個電子，146個中子），0.7%是鈾235（92個質子，92個電子，143個中子），同位素化學性質完全相同，無法從化學方面分離。

下面講解用質譜儀來分離她們。

將鈾加熱，使她電離，假設她電離了一次，失去一個電子，所以帶了一個單位的正電。

然后讓她通過一定的電勢差，（在電場下獲得動能）使她加速，獲得一定的速率。

假設帶電粒子（帶了一個單位的正電）周圍有一個磁場，磁場方向垂直紙面向外，帶電粒子將在洛倫茲力下沿圓周運動。

根據前面的結論

\[R=\sqrt{\frac{2 \text{mV}}{\text{qB}^2}} \]

同位素的電荷量相同，通過的電場獲得的動能相同（電勢差相同），磁場相同，但是質量不同，半徑和粒子的質量的平方根成正比，鈾238的質量比鈾235的大1.2%，所以她們會落在不同的位置。

這就是質譜儀的基本原理——根據同位素質量不同，電離帶電后粒子在磁場中運動的半徑不同。

質譜儀除了在軍用方面（核物理），在醫療行業也有廣泛的應用，有時人們需要特定的同位素的放射，不希望其他同位素摻入，就可以用質譜儀來分離她們。