電磁學7.磁場與洛倫茲力

磁場

磁場和電場類似，磁場是一種看不見、摸不着的特殊物質，磁場不是由原子或分子組成的，但磁場是客觀存在的。磁場具有波粒的輻射特性。磁體周圍存在磁場，磁體間的相互作用就是以磁場作為媒介的，所以兩磁體不用接觸就能發生作用。電流、運動電荷、磁體或變化電場周圍空間存在的一種特殊形態的物質。由於磁體的磁性來源於電流，電流是電荷的運動，因而概括地說，磁場是由運動電荷或電場的變化而產生的。

磁極

條形磁鐵由兩個極組成，分別為北(N)和南(S)。磁場在兩極最強。磁力線從北極出發，進入南極。

磁極同樣存在同性相斥，異性相吸現象。

電和磁有一個很大的不同。電有兩個極，兩極可以單獨出現（單獨的正極/負極）；但是磁極總是成對出現，單獨的極是不存在的。

安培定則

安培定則，也叫右手螺旋定則，是表示電流和電流激發磁場的磁感線方向間關系的定則。

通電直導線中的安培定則（安培定則一）：用右手握住通電直導線，讓大拇指指向直導線中電流方向，那么四指指向就是通電導線周圍磁場的方向；

通電螺線管中的安培定則（安培定則二）：用右手握住通電螺線管，讓四指指向電流的方向，那么大拇指所指的那一端是通電螺線管的N極。

磁感應強度

我們定義電場強度是通過靜電力，電場強度是單位電荷所受到的靜電力。

磁力是不是磁荷乘以磁場強度？

不是，因為我們暫時還沒有發現磁單極。如果有磁單極，就沒問題。

取一個電荷量為 \(q\) 的電荷，電荷運動速度是 \(v\) ，周圍存在磁場。

實驗顯示，電荷受到的力總是垂直於它速度的方向。即

\[\overset{\rightharpoonup }{F_B}\bot \overset{\rightharpoonup }{v} \]

因為磁場力永遠垂直於速度方向，所以磁場力永遠不會對電荷做功。

這個力的大小正比於電荷的速度，同時正比於電荷本身的大小。

定義：

\[\overset{\rightharpoonup }{F_B} = q（\overset{\rightharpoonup }{v}\Lambda \overset{\rightharpoonup }{B}）\\ \left| F\right| =q v B \sin(\theta) \]

其中，B是磁感應強度，v是電荷速度，兩者叉乘。

注意是叉乘。因為叉積的幾何意義在三維中，就是兩個向量叉積后，得到的向量與這兩個向量垂直。有洛倫茲力，她和電荷有效運動（速度）方向，磁感應強度方向三者一定是一個垂直關系。

磁場強度 \(B\) 在國際單位中，單位是特斯拉（T）。

1T是非常強的磁場，因此我們經常用高斯（G）作為單位，高斯與特斯拉換算為

\[1G=10^{-4}T \]

地球的磁場大概是半高斯。

洛倫茲力

運動電荷在磁場中所受到的力稱為洛倫茲力。單位是牛頓。

彩色電視內部的電子槍會對屏幕進行光柵掃描，電子束的強弱變換產生出圖像，如果在電視周圍放一個很強的磁鐵，她就會扭曲圖像，因為她影響到電子的運動。如果顯像管被嚴重磁化后就造成永久性損傷。（懂了懂了明天就給老友送一個……）

如果電荷周圍有電場也有磁場的話，例如當電荷在載流導線附近移動時，合力 \(F_s\)是電場力和磁場力的矢量和：

\[\overset{\rightharpoonup }{F_s} = q（\overset{\rightharpoonup }{E}+\overset{\rightharpoonup }{v}\Lambda \overset{\rightharpoonup }{B}） \]

根據洛倫茲力的定義，這個合力也可以說是洛倫茲力。

通電導線上電流為 \(I\) 。磁場在導線各個位置上完全可能是不同的。

電流上一個電荷 \(+dq\) ，正以漂移速度 \(V_d\) 通過導線。

思考一下，電流是0的時候，因為此時電荷屬於熱運動，是隨機運動，電荷上合力為0。當電流不等於0時，電荷移動，合力不為0.

為什么要用正電荷？電流不是電子移動產生的嗎？是的，只是出於數學上的考慮，負電荷乘以矢徑，等價於正電荷乘以相反方向的矢徑。只是根據電流方向的定義考慮，用正電荷描述方便。

假設 \(V_d\) 與 \(B\) 夾角為 \(\theta\) ,磁場力為

\[d\overset{\rightharpoonup }{F_B} = dq（\overset{\rightharpoonup }{v_d}\Lambda \overset{\rightharpoonup }{B}） \]

因為電流是單位時間內流過的電荷量：

\[I=\frac{\text{dq}}{\text{dt}} \]

故

\[d\overset{\rightharpoonup }{F_B} = I dt（\overset{\rightharpoonup }{v_d}\Lambda \overset{\rightharpoonup }{B}） \]

又根據經典力學，速度乘以時間等於距離：

\[dl=dv*dt \]

\(dl\) 是沿導線的一段距離。

故

\[d\overset{\rightharpoonup }{F_B} = I （\overset{\rightharpoonup }{dl}\Lambda \overset{\rightharpoonup }{B}） \]

從這個式子可知，\(d\overset{\rightharpoonup }{F_B}\) 是這一段 \(\overset{\rightharpoonup }{dl}\) 上所受到的力，\(\overset{\rightharpoonup }{B}\) 是 \(dl\) 局部的磁感應強度。

如果想知道整個導線上受到的力，必須沿整個導線積分，並且要確定每一小段 \(dl\) 上的 \(\overset{\rightharpoonup }{B}\) 。這樣每一小段都得到一個力，再疊加。有點繁瑣，但這是基本思想。

簡化計算，只能簡化模型，假如一條通電直導線，電流為 \(300A\) ，在 \(l=0.1m\) 范圍內，磁場保持 \(0.2T\) 恆定，垂直紙面向里。

因為速度與磁場夾角是90度，很容易得到這段長度上的洛倫茲力大小：

\[F_B =I*l*B=300*0.1*0.2=6N \]

通電線圈（電動機）

假設一個通電線圈，紅色箭頭表示電流流向，虛線區域內有從右到左的一個恆定均勻的磁感應強度為 \(\overset{\rightharpoonup }{B}\) 的磁場。通電線圈的左右兩臂（黃色表示）會受到磁場力 \(\overset{\rightharpoonup }{F}\)，灰色區域由於電流流向與磁場方向平行，所以叉積為0，不會受到磁場力。通過左手定則，可以判斷力的方向。

如果左右兩臂的長度為 \(a\) 。則

\[F=I*a*B \]

兩個臂的力大小相等，方向相反，使得線圈逆時針旋轉。

某個時刻，旋轉90°后，力矩變為0。但是由於慣性，會繼續旋轉，逆時針旋轉超過90°后，力矩就會反過來。其實通過D、A位置就能看出，旋轉180°后，D在左邊，A在右邊。然后翻轉過來，來回擺動。顯然這不能算是電動機。

所以需要一個滑動的機械結構-電刷和換向器。

電刷是與運動件作滑動接觸而形成電連接的一種導電部件。電刷是用於換向器或滑環上，作為導入導出電流的滑動接觸體。

結構上，換向器是幾個接觸片圍成圓型，分別連接轉子上的每個觸頭，外邊連接的兩個電極稱為電刷與之接觸，同時只接觸其中的兩個。

通過電刷和換向器，每一次旋轉，電流就會自動的改變方向，解決了力矩反轉的問題，並且解決了旋轉過程中導線纏繞的問題。