混沌圖像---洛倫茲的蝴蝶

      Lorenz系統作為第一個混沌模型，是混沌學發展史上的一個重要的里程碑，具有舉足輕重的地位。我看過很多本關於混沌方面的書,每一本都會有洛倫茲吸引子，並且幾乎每一本的封面上都會畫上洛倫茲的蝴蝶曲線。雖然我看了這么多書，卻始終沒明白，這洛倫茲的方程式怎么就跟天氣發生了關系。氣象學家洛倫茲在1963年論文中提出的它的公式以表示天氣模型。天氣系統如此復雜，用數百萬個變量來描述都不為過，但洛侖茲將其壓縮到了三個變量：x，y和z，所以這只是一個玩具模型。這個玩具模型對於他的論點來說，也許恰到好處。之前的天氣模型大多是線性的，沒有過多考慮各種因素之間的復雜關系，洛倫茲早認為這樣的模型無法描述多變的天氣。而他的模型，盡管只有三個隨着時間變化的變量，但變量之間卻有着非線性的聯系，能夠很好地詮釋了因素之間的相互影響。

　　就在這樣簡單的Lorenz模型之下，出現了混沌現象。而且這種現象似乎是普遍的，因為在三個變量取值的大部分可能性下，系統演變的軌跡都會漸漸趨近於同一個產生混沌的區域，就像磁鐵吸引着圖釘，混沌的行為成為了必然。這就是人們發現的第一個混沌吸引子：洛倫茲吸引子。它的形狀，就像一只蝴蝶；這大概也是洛倫茲將這種混沌的現象稱為“蝴蝶效應”的原因。一只南美洲蝴蝶的撲翼，在蝴蝶效應的放大下，也許引起德克薩斯州的一場颶風。天氣不可能准確預測，因為天氣是混沌的，微小的擾動在長遠看來是不可忽略的，而我們又無力去追蹤無數的擾動，只能一邊預計，一邊修正。

      如果不明白上面的話也無所謂，反正這里研究的不是天氣、不是霧霾，我只是用洛倫茲吸引子生成漂亮的圖像。

      這里使用自己定義語法的腳本代碼生成混沌圖像.相關軟件參見:YChaos生成混沌圖像.如果你對數學生成圖形圖像感興趣,歡迎加入QQ交流群: 367752815

先上腳本代碼:

[ScriptLines]
u=a*(y - x)
v=b*x - y - x*z
w=x*y - c*z
x=x+u*t
y=y+v*t
z=z+w*t

[Variables]
a=10.000000
b=28.000000
c=2.666667
t=0.001000
x=-10.000000
y=10.000000
z=25.000000

生成如下的圖像:

      如果你了解洛倫茲的數學公式,你會發現它實際上是三維的,有XYZ三個維度。這里只是生成二維的圖像，所以這里需要將三維的數據投影到一個二維平面上。可以先想象一下夏天拍蚊子的情景，將空間中的蚊子拍死在二維的牆面上。如果是拍人呢，可以選擇前后拍，左右拍，最殘忍的應該是上下拍。記得小說《三體》中有一種很厲害的武器是張小紙條，它能夠將三維的世界拍成二維的，於是地球以及整個太陽系就這么被毀滅了。

      上述腳本是使用默認的XOY面做為投影面，同樣也可以使用XOZ面，YOZ面。

YOZ

[ScriptLines]
u=a*(j - i)
v=b*i - j - i*k
w=i*j - c*k
i=i+u*t
j=j+v*t
k=k+w*t
x=i
y=j*cos(d) - k*sin(d)
z=j*sin(d) + k*cos(d)

XOZ

[ScriptLines]
u=a*(j - i)
v=b*i - j - i*k
w=i*j - c*k
i=i+u*t
j=j+v*t
k=k+w*t
x=i*cos(d) - k*sin(d)
y=j
z=i*sin(d) + k*cos(d)

將三維的物體投影到二維平面上，你可以將其按任意角度，任意平面去投影，下面的公式為將圖形以Z軸旋轉一定角度：

[ScriptLines]
u=a*(j - i)
v=b*i - j - i*k
w=i*j - c*k
i=i+u*t
j=j+v*t
k=k+w*t
x=i*cos(d) - j*sin(d)
y=i*sin(d) + j*cos(d)
z=k

洛倫茲吸引子是沒有隨機性的，但我可以強行為其加上隨機性：

[ScriptLines]
u=a*(y - x)
v=b*x - y - x*z
w=x*y - c*z
x=x+u*t + rand2(-r,r)
y=y+v*t + rand2(-r,r)
z=z+w*t + rand2(-r,r)

說實話，這幾幅洛倫茲蝴蝶的圖像顏色看着有些難看。當時我只是隨意寫了個配色函數，感覺是慘綠慘綠的。下面將帖幾張漂亮點的蝴蝶圖像:

相關軟件介紹:

YChaos生成混沌圖像

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