1.6.1 洛倫茲速度變換

寫在前面的一些廢話

看到這個題目，你可能會問：啥是洛倫茲速度變換？
某百科上對變換的解釋是用同類之物交換或代替，在這里我們是指位置與時間的關系與因為高速而發生的變划，所以我們只在相對論中討論時間的變化。而速度變換則是在高速中，某速度相對另一參照系速度的變換（這里全是我寫的，所以很不嚴謹，如有建議請提出，謝謝！）

洛倫茲速度變換

假設有兩個參照系，其中\(S系\)靜止，\(S'系\)以相對\(S系u\)的速度運動。在\(t=t'=0\)時，\(O\)與\(O'\)重合，在\(S'系\)中物體沿\(x'\)軸從\(O'\)以速度\(v'\)正向運動，經過時間\(t'\)后，該物體到達\(x'=v't'\)，那么在\(S系\)中，該物體的運動速度為什么？

這個問題需要討論兩個問題：位置的變換和時間的變換（即我們之前講過的愛因斯坦延緩）
在\(S系\)中：
\(x=(v'·t'+u·t')·γ=(v'+u)·t'·γ\)
\(t=(t'+\frac{u}{c^2}x')·γ\)
\(=(t'+\frac{u}{c^2}v'·t')·γ\)
\(=(1+\frac{u}{c^2}v')·t'·γ\)
按照正常的速度=路程÷時間我們可以得出：
\(v=\frac{x}{t}=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'}\)
這就是洛倫茲速度變換逆變換
將這個式子翻一下即可得出正變換：
\(v'=\frac{x'}{t'}=\frac{v'-u}{1-\frac{u}{c^2}v'}\)
那么如果\(u<<c\)（“\(<<\)”為遠小於），\(\frac{u}{c^2}\)就會趨近於\(0\)

\[則\left\{ \begin{matrix} v=v'+u \\ v'=v-u \end{matrix} \right. \]

就是我們了解的伽利略變換體系了
那我們就不啰嗦了，直接給出

完整的洛倫茲速度變換公式

（\(S'系\)相對\(S系\)沿\(x軸\)方向以速度\(u\)運動）

\[\begin{aligned} &正變換\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} &v_x'=\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x} \\ &v_y'=\frac{v_y}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ} \\ &v_z'=\frac{v_z}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ} \end{aligned} \end{matrix} \right.\\ &逆變換\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} &v_x=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'} \\ &v_y=v_y'·(1-\frac{u}{c^2}v_x)·γ \\ &v_z=v_z'·(1-\frac{u}{c^2}v_x)·γ \end{aligned} \end{matrix} \right. \end{aligned} \]

既然得到了這驚天地泣鬼神的神奇公式，那我們就做幾道例題，夯實你的學習成果吧

例題一（純套公式）

這道題是我很早以前就寫好了的，並向我的一位同學講過寫相對論隨筆的設想，他表示如果寫到這里時知名度較高的話可以打一點廣告，以下摘自他的手稿（很遺憾這位同學已經轉到我們學校的其他校區了，可能看不到這篇文章了）：

XX空運公司飛機以\(u=0.6c\)相對地面飛行，XX快遞，使命必達。飛機上，一XX挖掘機公司職員，就是專業，向前扔出一瓶XX飲料。XX飲料，一天一罐，讓自然的智慧充滿聰明的你……
……emm……

飛船以\(u=0.6c\)相對地面飛行，宇航員向前發射了一顆子彈，相對船速\(0.8c\)，求地面觀測到的子彈速度。
解：
像往常一樣列一張表：

地面\(S系\)	飛船\(S'系\)	\(u=0.6c\)
\(v\)	\(v'=0.8c\)

\(v=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'}=\frac{0.8c+0.6c}{1+\frac{0.6c}{c^2}·0.8c}=0.946c\)

例題二（純套公式）

兩飛船甲、乙相向飛行，分別以相對地面\(v_甲=0.6c\)與\(v_乙=0.8c\)的速度運動，求甲觀測到的乙飛船的速度

解：
\(v'=\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}·v}=\frac{(-0.8c)-(0.6c)}{1-\frac{0.8c}{c^2}·(0.8c)}≈-0.946c\)

例題三（送分題）

飛船\(u=0.6c\)，掠過地面，宇航員向飛船前后各發射一束激光，求地面觀測到這兩束激光的速度。
解：
好吧，我承認這題是來搞笑的，在 1.1 狹義相對論基本假設 中我們就講過光速不變原理，所以激光速度肯定為\(c\)
不管怎樣，我們來套一下公式：
飛船（\(S'系\)）中，
　　向前的激光 \(v'=c\)
　　向后的激光 \(v"=-c\)
地面（\(S系\)）中，
　　向前的激光 \(v=\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}·v'}=c\)
　　向后的激光 \(v=\frac{v"+u}{1+\frac{u}{c^2}·v"}=-c\)
咳咳，所以這個公式是正確的至少沒有與相對論本身相矛盾

例題四

在地面參考系內，有兩飛船A、B
飛船A以\(0.8c\)的速度向北運動
飛船A以\(0.6c\)的速度向西運動
求飛船A相對飛船B的速度
解：
對地面（\(S系\)）來說：
　　A：\(v_x=0\)　\(v_y=0.8c\)　B：\(u=-0.6c\)
對B（\(S'系\)）來說：
　　\(v_x'=\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x}=\frac{0-(-0.6c)}{1-\frac{-0.6c}{c^2}·0}=0.6c\)
　　\(v_y'=\frac{v_y}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ}=0.64c\)
在高中里，你們（我是初中生）學過速度是一個矢量，合速度就是將兩個分速度合成一下就好了。本題中的兩個速度很友善地互相垂直，所以直接套勾股定理就好了：
\(v'=\sqrt{v_x'^2+v_y'^2}≈0.877c\)