電磁學5.場能密度、電容與介電常數

場能密度

假設有兩個平行板，上面一塊帶正電荷 \(+Q=\sigma A\)，下面帶負電荷 \(-Q=-\sigma A\)

$\sigma $ 為電荷密度，\(A\) 為表面積。兩塊板距離為 \(h\) 。

電場接近恆定（在對稱原則下，可以使用高斯定理，\(EA=Q/\epsilon _0\)，板外電場處處為0），電場大小為

\[E = \frac{\sigma }{\epsilon _0} \]

現在保持下面板子，把上面的板子向上移動，因為兩塊板吸引，顯然我們需要做功。

向上移動 \(x\) 距離后，會在這個高度的空間內產生新的電場，新的電場和原來的電場一樣，因為移動時板上電荷不變。

問題是：向上移動 \(x\) 距離，我們需要做多少功？

我們單獨看上面的板子，放大，導體板的內下表面的電荷用藍線表示。因為是導體，我們前面說過，導體內部電場為0，只分布在表面，下表面電場不為0.

所以板子中電荷的電場應該是這兩者的平均值：

\[E_s = \frac{\sigma }{2\epsilon _0} \]

作用在這一層電荷上的力，我們就可以通過庫倫定理求出

\[F=QE_s=\frac{QE }{2} \]

我們做的功就是

\[W=\frac{\text{QEx}}{2}=\frac{\text{$\sigma $AEx} \epsilon _0}{2 \epsilon _0}=\frac{1}{2} \epsilon _0 E^2 \text{Ax} \]

其中我們上下都乘了 \(\epsilon _0\) ,這樣做的意義是又能得到 \(E = \frac{\sigma }{\epsilon _0}\) 。

\(Ax\) 是新創造的電場的體積。

單位體積做的功就是：

\[W_s=\frac{\epsilon _0 E^2 }{2} \]

因為這個功創造了電場，所以我們把她叫做“場能密度”。單位是焦耳每立方米。

一般電場能密度都可以這樣表示，這個公式不是針對特定的電荷分布，是通用的。對任何的電場分布都有效。

現在我們有了一個新的視角來看待把電荷組裝起來所需要的能量。早先我們是通過從無窮遠搬運到各自位置所做的功，現在我們有了一個計算靜電勢能更方便的式子：把電場能密度在整個空間內積分（當然可以積分到無窮遠的地方）。

靜電勢能用電場能密度計算：

\[U=\int \frac{\epsilon _0 E^2 }{2} \, dV \]

這里V表示體積，空間大小。

這是看待靜電勢能的另一種方式，我們可以把她看作電場所包圍的能量，而不是組裝這些電荷所需要的功。

電容

電容定義（1）：為一個物體的電荷量除以它的電勢。即

\[C=\frac{Q}{V} \]

例1

假設一個球上帶電荷量為 \(Q\) ,半徑為 \(R\)

球表面電勢 \(V\) 為

\[V=\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 R} \]

那么這個球電容為：

\[C=\frac{1}{4 \pi \epsilon _0 R} \]

單位是庫倫每伏特。但是我們常用“法拉（F）”

我們可以把她看成是半徑 \(R\) 的函數。

在限定的電勢下，電容越大，意味着 \(4 \pi \epsilon _0 R\) 越小，所容納的電荷越多。這就是電容這個詞的含義。

例2

假設有兩個靠近的球A和B，A帶負電荷 \(-Q_A\)，B帶正電荷 \(+Q_B\)

根據定義，B的電容為

\[C_B=\frac{Q_B}{V_B} \]

但是，這里定義是不准確的。

電勢是從無窮遠處搬運到指定位置的單位電荷做的功，球B上電荷 \(+Q_B\) ，克服電場力我們就需要做正功，但是由於球A電荷是 \(-Q_A\) ,顯然我們做的功減少了，所以電勢 \(V_B\) 減小了，\(C_B\) 增大了。

球A對球B的電容有不可忽視的作用。

我們稱B的電容是不准確的，我們要求的是A存在情況下B的電容。不能單獨考慮B。

所以我們需要改變電容的定義。

電容的定義（2）：兩個帶有相同電荷量，但是極性相反的導體，兩者組合起來的電容是其中一個上面導體的電荷量除以她們之間的電勢差。即

\[C=\frac{Q}{V_{diff}} \]

所以通常處理的是兩個物體。

平行板電容

再來看兩個板之間的電容是多少。

從定義2，根據電勢是電場沿距離的積分，我們可以得出

\[C=\frac{Q}{V_{diff}}=\frac{Q}{Ed}=\frac{A \sigma \epsilon _0}{d \sigma }=\frac{A \epsilon _0 }{d} \]

這就是平行板電容的公式。

電容大小和面板的面積成正比，就是面積越大，能裝的電荷越多；和平行板之間的距離成反比，因為距離越近，一塊板對另一塊板的電勢影響越大，就是電勢越小（例二），電容越大。

平行板電容能存儲能量為

\[W=\frac{\text{QEx}}{2}=\frac{{Q V_{diff} }}{2} = \frac{CV_{diff}^2}{2} \]

我們可以把電容看成是儲存電能的裝置。

介電常數

絕緣體的電子被束縛在原子或分子周圍，不像導體那樣可以自由移動，但是，當我們施加一個足夠強的外電場時，微觀上原子核和電子在電場作用下偏移，由於靜電感應產生極化，宏觀上可以看到絕緣體內部正負抵消，只在邊緣出現感應電荷。

假設有一個平行板電容器，上面板電荷密度為 \(+\sigma _f\)，下面一塊板電荷密度為 \(-\sigma _f\) 。 \(f\) 代表自由“free”。

我們得到自上向下的電場 \(E_f\).

現在我們往中間加入電介質（絕緣介質），在外電場作用下發生極化，上下產生感應電荷，電介質上面一層感應電荷的密度為 \(-\sigma_i\)，下面一層為 \(+\sigma_i\)，產生與 \(E_f\) 方向相反的電場 \(E_i\) .

則在兩塊平行板內，合電場 \(E\) 就是這兩個電場的矢量和：

\[\begin{align} \overset{\rightharpoonup }{E}&=\overset{\rightharpoonup }{E_f}-\overset{\rightharpoonup }{E_i}\\ &\rightarrow\frac{\sigma_f }{\epsilon _0}-\frac{\sigma_i }{\epsilon _0} \end{align} \]

感應電荷可以看作是自由電荷按一定比例 \(b\) 被感應出來的。即：

\[\sigma_i=b* \sigma_f(b<1) \]

那么感應場強就可以寫成一定比例的自由場強：

\[E_i=b*E_f \]

故合場強為

\[E=（1-b）E_f \]

一般我們將\(（1-b）\) 寫成 \(\frac{1}{K}\) (一個意思)，所以

\[E=\frac{E_f }{K} \]

我們將 \(K\) 稱為介電常數。無量綱。

所以，插入電介質，電場就變為原來的 \(\frac{1}{K}\) ，變小了。

電場變小，不改變距離 \(d\)，平行板兩邊的電勢差也會變小 \(V=Ed\)。由電容定義可知，電容將變大。

插入電介質的平行板電容大小，計算公式為

\[C=\frac{A \epsilon _0 }{d}K \]

通過電介質的介電常數修正。

從這個式子我們也可以看出，為了增大電容容量，我們可以通過增大 \(A、K\)，減小 \(d\) 。

\(d\) 在保證不擊穿的條件下，可以做到微米級別。

水的介電常數為80，但是擊穿場強太小，顯然不合適，聚乙烯的介電常數為3，擊穿場強為1800萬伏特每米，可以作為電容的電介質，有很多電容就是利用這種材料——薄膜電容中一種。

電子電力中的電容，其實就是根據電介質來分類。