電磁學2.靜電勢能和電勢

靜電勢能

在靜電學里，靜電勢能是處於電場的電荷分布所具有的勢能，與電荷分布在系統內部的組態有關。

假設有點電荷 \(q_1\) ,距離為 \(R\) 的位置 \(P\) 點又有點電荷 \(q_2\).

很明顯，如果我們要移動兩個電荷到相對位置，我們需要做功克服電場力。所以電荷上已經做了功，這就是靜電勢能。就像擠壓彈簧，松手后又會彈開。

假設空間為空，第一次放置 \(q_1\) 不需要做功。但是放置 \(q_2\) 到 \(P\) 點就需要克服電場力 \(\overset{\rightharpoonup }{F_{el}}\)做功。施加的力設為 \(\overset{\rightharpoonup }{F_{kl}}\)。兩個力大小相等，方向相反。兩個點電荷的距離設為 \(r\) .

從無限遠處把電荷移動到 \(P\) 點做的功就是靜電勢能U：

\[\begin{align} U=W_{kl} &= \int _{\infty }^R \overset{\rightharpoonup }{F_{kl}} \overset{\rightharpoonup }{dr} \\ &= \int _R^{\infty } \overset{\rightharpoonup }{F_{el}} \overset{\rightharpoonup }{dr} \\ &=\frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon _0} \int _R^{\infty }\frac{\text{dr}}{r^2} \\ &= \frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon _0 R} \end{align} \]

靜電勢能U是一個標量。單位是 焦。電場力是保守力，一點到另一點做的功與路徑無關。可以是正值，也可以是負值，負值表示做負功。

電勢

假設檢驗電荷從無窮遠位置，經過任意路徑，克服電場力，緩慢地移動到某位置，則在這位置的電勢，等於因遷移所做的機械功與檢驗電荷量的比值。

其實就是：從無窮遠處移動到 \(P\) 點，單位電荷所做的功。

等式右邊只剩下生場電荷的電荷量。

\[V_{P}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 R} \]

單位是 焦/庫倫。但是沒人這么叫，一般都用 伏特（V）。很顯然就是為了紀念這位大佬。兩個叫法一個意思。

電勢隨着距離成 \(\frac{1}{R}\) 下降。假設空間中只有一個點電荷 \(Q\) ,如果是正電荷的，任何位置的電勢都是正的，如果是負電荷的，任何位置的電勢都是負的。只有在真正的無窮遠處，電勢才為0.

多點電荷在某點位置產生的電勢，利用疊加定理可以很容易求解。

等電勢面

假設球形空心金屬殼，表面均勻布滿電荷，任何一處電荷密度一樣。比如范式起電機。

那么我們將一個電荷從無窮遠處移動到金屬殼表面時，是有做功的，但是移動到金屬殼內部，由高斯定律，可知內部沒有電場，所以沒有電場力的作用，意味着不用做功。

所以，內部電勢將保持恆定。金屬殼內部任何位置的電勢都是相等的。

此時內部就是一個等勢面。

等勢面，簡單理解就是，將點電荷從無窮遠處移動到這個面上的線時，所做的功都是相等的。

例如以下藍色虛線

等勢面有什么用？

電場確定時，我們就可以預測電場中電荷的受力情況。但是有時候，電場是難以想象的復雜的，利用等勢面會容易的多，因為一點到另一點動能的改變完全取決於電勢的變化。

所以我們只關心動能的改變的話，等勢面會讓計算方便的多，就像上面那幅圖的第三個圖，多點電荷產生的電場會異常復雜，而等勢面顯然簡便很多。

在重力場中，鉛筆總是想從高勢能處向低勢能處運動。相對地，正電荷總是試圖從高電勢移動到低電勢，負電荷總是試圖從低電勢移動到高電勢。

電勢差

假設在電場中，A點電勢為 \(V_A\)，B點電勢為 \(V_B\) 。

則兩點電勢差為

\[\begin{align} V_A-V_B&=\int _A^{\infty }\overset{\rightharpoonup }{E}\overset{\rightharpoonup }{dl}-\int _B^{\infty }\overset{\rightharpoonup }{E}\overset{\rightharpoonup }{dl}\\ &=\int _A^{B }\overset{\rightharpoonup }{E}\overset{\rightharpoonup }{dl} \end{align} \]

將一個電荷 \(q\) 從無窮遠移動到B，做功，再從B移動到A，顯然要出更多的力，這部分力做功，如果我們此時撤去這部分力，電荷將從A返回B，此時勢能轉換為電荷運動的動能。大小就是電荷量乘以電勢差。

當只研究動能時，顯然電勢差方便很多。而且我們可以任意假設電勢零點，來簡化計算。（電路中假設的地）

電場與電勢的關系

在點電荷產生的靜電場中，距離 \(r\) 的 \(P\) 點的電場為

\[\overset{\rightharpoonup }{E}=\frac{q \overset{\rightharpoonup }{r}}{4 \pi \epsilon _0 r^2} \]

電勢為

\[V=\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 r} \]

前面我們知道，電勢是電場沿一條線的積分。反過來，電場可以寫成電勢的導數。

對電勢公式求導，可得

\[\frac{\text{dv}}{\text{dr}}=-\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 r^2} \]

電場是矢量，電勢是標量，我們可以兩邊同時乘以方向單位矢量。

\[\frac{\text{dv}}{\text{dr}}\overset{\rightharpoonup }{r}=-\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 r^2}\overset{\rightharpoonup }{r} \]

所以電勢的導數是電場的負數。

可得公式：

\[\overset{\rightharpoonup }{E}=-\frac{\text{dv} }{\text{dr}}\overset{\rightharpoonup }{r} \]

知道了電勢，也就能找回電場。

加深理解

假設空間存在電場， \(P\) 點有唯一的電勢 \(Vp\)。

現在在笛卡爾坐標系中，只沿x軸走微小距離，如果電勢沒有改變，那么電場在

x軸上分量為0。如果實測有電勢改變，則電場在x軸上分量大小為

\[\left| E_x\right| =\left|\frac{\text{$\Delta $v}}{\text{$\Delta $x}}\right|（\text{$\Delta $y},\text{$\Delta $z}=0） \]

同理，可得其他兩個方向分量大小

\[\left| E_y\right| =\left|\frac{\text{$\Delta $v}}{\text{$\Delta $y}}\right|（\text{$\Delta $x},\text{$\Delta $z}=0） \]

\[\left| E_z\right| =\left|\frac{\text{$\Delta $v}}{\text{$\Delta $z}}\right|（\text{$\Delta $x},\text{$\Delta $y}=0） \]

單位是伏特每米。其實和牛頓每庫倫表達意思一樣，只是形式不一樣。

這樣我們可以得到在笛卡爾坐標系中電勢和電場的關系：

\[\overset{\rightharpoonup }{E} =- \left( \left| \frac{\partial v}{\partial x}\right|\hat{x} + \left| \frac{\partial v}{\partial y}\right|\hat{y} + \left| \frac{\partial v}{\partial z}\right|\hat{z}\right). \]

它是電勢在各個坐標方向上的偏導數。其實就是電場在各個方向上的矢量分解。

例子

假設在距離 \(x=0-10^{-2}\) 內， 電勢為 \(V=10^5x\) ,即隨距離線性變化。

那么我們可以計算出電場

\[\overset{\rightharpoonup }{E} = -10^{-5} \hat{x} \]

那么在這個范圍內，電場只隨距離線性變化。