電磁學14.自感與RL電路

自感L

在電路中通入電流，就制造了磁場，如果電流在變化，磁場也會變化，而電路中感性元件會產生感生電動勢來抵抗這種變化。

這種效果我們用 "自感" 表示。自感越大，抵抗力越大，消除（達到電路穩態）時間越長。

如果在交流中，自感時刻在抵抗電流的變化，所以會讓電流“滯后”於電壓的變化。

由電流產生的磁通量總是和電流大小成正比，我們將比例常數定義為 "自感 \(L\) （self-inductance）“。單位是”亨利 \(H\)“ .

\[\phi _B =I L \]

而法拉第電磁感應定律告訴我們，感應電動勢大小為（注意符號——楞次定律的含義）：

\[E=-\frac{\text{d$\phi $}_B}{\text{dt}} \]

所以

\[E=-L\frac{\text{d$I $}}{\text{dt}} \]

自感只和幾何形狀有關。

比如在螺線管中，假設外部磁感應強度為0.

我們在安培環路定理計算過，內部磁感應強度為

\[B= \mu _0 I \frac{N}{l} \]

磁通量 （N匝相當於有N個圓面 \(\pi r^2\) ——想象把螺線管沉入肥皂水后，她所連上的開曲面，磁場會穿過圓面 N 次，磁通量乘以N倍） 為

\[\begin{align} \phi _B &=N \pi r^2 B\\ &= \pi r^2 \frac{N^2 }{l}\mu _0 I\\ &= LI \end{align} \]

故

\[L= \pi r^2 \frac{ N^2}{l} \mu _0 \]

RL電路

零狀態響應

如圖，在 \(t_0\) 時刻，回路電流為0，此時閉合開關，電流變化，磁場變化。

從電源負極開始，由基爾霍夫電壓定律可得

\[\epsilon-\text{IR}-|\epsilon _L |=-\epsilon-\text{IR}-L\frac{\text{d$I $}}{\text{dt}} =0 \]

求解電流 \(I\) ,顯然這是一階微分方程。

解為

\[I(t)=\frac{\epsilon }{R} (1-e^{-\frac{R }{L}t}) \]

\(\frac{\epsilon }{R}\) 為最后電路穩態時最大電流。

需要注意基爾霍夫電壓定律用於集總參數模型，如果不是，只能用法拉第定律計算，純自感是超導體（電阻為0），壓降為0，電場為0.

\[\oint \overset{\rightharpoonup }{E} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}}=-\frac{\text{d$\phi $}_B}{\text{dt}}=-L\frac{\text{d$I $}}{\text{dt}} \]

分布參數電路，磁通量將在整個電路中變化。回路積分結果將是感應電動勢。自感內電場為0，電阻為0。電阻電場為 \(IR\) .沿着電流方向，從電源的負極開始，我們可以列出方程：

\[-\epsilon+\text{IR}-0=-L\frac{\text{d$I $}}{\text{dt}} \]

結果一樣。嗯，只是過程不一樣。

電流和時間關系：

如果等待 \(\frac{L}{R}\) 秒，電流大約是最大值的 $63 $ % 。

如果等待 \(2\frac{L}{R}\) 秒，電流大約是最大值的 \(83\) % 。

零輸入響應

如圖，自感 L 初始通過 S1開關 充滿電，最大電流為 \(I_{max}\) ，然后斷開S1，閉合S2，在閉合S2的時刻規定為0時刻分析。

閉合S2，電流變化，磁場變化，楞次定律告訴我們，自感不喜歡電流變小的事實，她會反抗這種變化，所以我們可以猜測電流不會立刻消失。

在 \(t_0\) 時刻，電流還是最大值 \(I_{max}\) 。

同樣的我們可以列出方程：

\[\text{IR}=-L\frac{\text{dI}}{\text{dt}} \]

解微分方程，得

\[I (t)=\frac{\epsilon }{R}e^{-\frac{R t}{L}} \]

畫出圖像為

如果等待 \(\frac{L}{R}\) 秒，電流大約是最大值的 \(37\) % 。

我們發現，電阻到電流為0時，一直有熱量產生，有電池時，電池提供能量；

沒有電池時，磁場中的能量轉換為電阻的熱能形式散發，磁場提供能量。

基於這個觀點，我們可以計算磁場能量密度。

磁場能量與磁場能量密度

磁場提供能量開始，到電流降為0，產生的熱量為：

\[\begin{align} \int_0^{\infty } I^2 R \, dt &= I_{max}^2 R\int_0^{\infty }e^{-\frac{2R t}{L}} \, dt\\ &= I_{max}^2 R \frac{L}{2R}\\ &= \frac{LI_{max}^2}{2} \end{align} \]

而這就是磁場儲存的能量。

我們可以把 \(I_{max}\) 替換為 \(I\) ，任意時刻流過螺線管的電流，磁場的能量隨着電流變化而變化。

自感我們可以將其看成是螺線管，將 L 和 I 替換

\[B= \mu _0 I \frac{N}{l} \]

\[L= \pi r^2 \frac{ N^2}{l} \mu _0 \]

可得

\[\frac{LI^2}{2} = \frac{ B^2 }{2 \mu _0 } \pi r^2l \]

而 \(\pi r^2l\) 就是螺線管存在磁場處的體積（內部體積），因為我們假設外部磁場為0。

這是磁場總的能量。

故每立方米的能量為

\[\frac{ B^2 }{2 \mu _0 } \]

所以理論上來說，如果知道空間各處的磁感應強度，對全部空間積分，就可以計算出該空間磁場總能量。

早先我們計算電場能量密度。在電場情況下，她表示分配電荷到特定分布所做的功。

磁場的情況下，她表示讓一個電流流過純自感（電阻為0）必須做的功。做功是因為螺線管會抵抗電流的變化。

交流情況

用一個交流電源給LR串聯電路供電，此時自感會時刻在抵抗，

交流電源電壓為 $V=V_0 cos(\omega t) $

建立微分方程

\[V_0 cos(\omega t)-\text{IR}-L\frac{\text{d$I $}}{\text{dt}} =0 \]

解得電流為

\[I=\frac{V_0 }{\sqrt{R^2+\text{$\omega $L}^2}}\cos (\text{$\omega $t}-\Psi ) \]

其中

\[\tan (\Psi )=\frac{\text{$\omega $L}}{R} \]

可見，電流和驅動電壓之間有相位滯后。相位角由這個式子決定。

如果 \(\Psi=90°\) ，那么電流滯后了 \(1/4\) 周期。

這是因為自感時刻在抵抗電流的變化，電流滯后驅動電壓。

電流的最大值為

\[I_{max}=\frac{V_0 }{\sqrt{R^2+\text{$\omega $L}^2}} \]

因為cos項僅僅在±1之間振盪。

這里 \(\omega L\) 起到電阻的作用，叫做感抗。單位是歐姆。隨着頻率的變化而變化，頻率越高，感抗越大，電流越低。在電壓上可以起到衰減作用。

因為頻率越高，電流變化率越大，EMF越大，電流越低。

直流電頻率為0，故感抗為0.

對於相位角，自感或者頻率越大，系統對電流變化的抵抗能力越強，能對電流有一個較大的延遲。因為是正切，所以圖像上最大的相位偏差是90°（周期）。