電動勢
正如維持一個噴泉需要水泵，維持電路回路需要“電”泵——電源。
圖1 持續噴泉需要水泵
在電源內部，正電荷從低電勢區走向高電勢區，即逆着電場的方向運動，因此需要補充額外的能量，使正電荷克服電場力做功。給載流子補充的能源，可能來自化學能，如電池，可能來自機械能，如水電站，可能來自太陽，如太陽能電池，可能來自溫度差，如熱電堆。
圖2 電回路維持電流需要電動勢
下面我們從功能轉換的角度分析一下圖2。在任意一個時間間隔\(\mathrm dt\)內，電量\(\mathrm dq\)通過任一截面，如\(aa'\)，同樣多的電量進入電源低壓端（負極），同時有同樣多的電量離開高壓端（正極），在此過程中電源做功\(\mathrm dA\)，電源對單位電荷做功\(\mathcal{E}\)即為電源的電動勢：
\begin{equation*} \mathcal{E}=\frac{\mathrm dA}{\mathrm dq} \end{equation*}
國際單位制中，電動勢的單位為伏特。盡管電動勢與電勢或電壓的單位一樣，但電動勢與電勢或電壓是完全不同的物理量。電動勢與非靜電力做功相聯系，電勢與靜電力做功相聯系。電動勢完全取決於電源的性質，與外電路無關，而電勢分布則與外電路的具體情況有關。
我們可以把非靜電力看做一種場，場的強度用\(\vec{K}\)表示，在電源內，將\(q\) 的電量從電源負極送到正極，這種場做功
\begin{equation*} A=\int_{-}^{+}q\vec{K}\cdot\mathrm d\vec{l} \end{equation*}
對單位電量做的功即為電動勢
\begin{equation*} \mathcal{E}=\frac{A}{q}=\int_{-}^{+}\vec{K}\cdot\mathrm d\vec{l} \end{equation*}
對於理想電源，非靜電力對電荷做的功被電荷用來克服靜電場力做功，因此有
\begin{equation*} \mathcal{E}=\int_{-}^{+}\vec{K}\cdot\mathrm d\vec{l} = \int_{-}^{+}\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{l}=-U_{+-} \end{equation*}
其中，\(U_{+-}\)為電源端路電壓。
在回路里，電源將能量傳給運動的電荷，然后電荷將能量傳給其他元件，如使燈泡發光，使電動機做功，使電阻發熱，等等。
根據楞次定律，當你使一個磁體靠近或遠離一個線圈，線圈中產生感應電流，感應電流對磁體施加磁力，阻礙磁體的運動，要求你對磁體做正功。同時，線圈會生熱，因為線圈有電阻。你施加給磁體的力做的功就最終轉化成熱（當然還有線圈輻射的電磁波，我們暫時略去這部分能量）。你使磁體運動的越快，你施加的力做功就越快，功轉化成熱的速率也越快。
動生電動勢
圖3 磁場中孤立導體棒
如圖3，在均勻磁場\(\vec{B}\)中，導體棒以速度\(\vec{v}\)運動，導體棒內的帶電粒子\(q\)受到洛倫茲力\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\)，大小為\(F=qvB\)。洛倫茲力使導體棒內的自由電荷向棒的端點移動，同時等量相反的電荷出現在棒的另一端，最后在棒內產生一個電場\(\vec{E}\)。當電荷受到的電場力和洛倫茲力平衡的時候，\(qE=qvB\)，棒的兩端就停止聚集電荷。最后棒兩端的電勢差為
\begin{equation*} U_{ab}=EL=vBL \end{equation*}
圖4 導體棒沿着導體滑軌滑動
如果導體棒沿着導體滑軌滑動，構成回路，如圖4所示。滑動導體棒兩端的電荷會沿着回路重新分布，從高電勢的地方走向低電勢的地方，如此便在回路里形成電流。滑動的導體棒便是電源，在導體棒內正電荷從低電勢的地方走向高電勢的地方，非靜電力就是導體棒內的電荷受到的洛倫茲力，相應的電動勢稱為動生電動勢，
\begin{equation*} \mathcal{E}=vBL \end{equation*}
如果導體棒順着磁場方向運動的導體棒內電荷受到洛倫茲力為0，此時導體棒上不會產生動生電動勢，如果導體棒速度或速度分量垂直磁感應線運動，則會產生動生電動勢，因此，有時形象地說“導體切割磁感線時產生動生電動勢”。
前面討論的只是特殊情況（直導體棒，勻強磁場，導體棒垂直磁場平移），對於一般情況，磁場未必是勻強磁場，導體形狀也可能不規則，導體運動或形變時，導體上各處可能速度各異，這時導體內產生的動生電動勢為
\begin{equation*} \mathcal{E}=\int \left (\vec{v}\times \vec{B}\right ) \cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}
如果產生動生電動勢的導體是閉合的線圈，動生電動勢為
\begin{equation*} \mathcal{E}=\oint \left (\vec{v}\times \vec{B}\right ) \cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}
以上表達式看起來與法拉第定律\(\mathcal{E}=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}\)相差很遠，其實是等價。
例1 長度為\(L\)的導體棒，一端固定，導體棒以角速度\(\omega\)旋轉，均勻磁場垂直於旋轉平面，求導體棒產生的動生電動勢。
圖5 在均勻磁場中旋轉的導體棒
導體棒上產生的動生電動勢為：
\begin{equation*} \mathcal{E}=\int \left (\vec{v}\times \vec{B}\right ) \cdot \mathrm d\vec{l} = \int vB\mathrm dl=\int_0^L B\omega l\mathrm dl=\frac{1}{2}B\omega L^2 \end{equation*}
方向是從固定端指向自由端，所以固定端電勢比自由端電勢低。
也可以根據法拉第定律求解。在\(\mathrm dt\)時間內，導體棒轉過角度為\(\mathrm d\theta=\omega \mathrm dt\)，掃過的面積為
\begin{equation*} \mathrm dS=\frac{1}{2}L^2\mathrm d\theta = \frac{1}{2}L^2\omega \mathrm dt \end{equation*}
穿過該面積的磁通量為
\begin{equation*} \mathrm d\Phi=B\mathrm dS = \frac{1}{2}BL^2\omega \mathrm dt \end{equation*}
由法拉第定律，感應電動勢為
\begin{equation*} \mathcal{E}=\Big|\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}\Big|=\frac{1}{2}BL^2\omega \end{equation*}
由楞次定律可判斷出感應電動勢的方向。
例2 導體棒沿無限長載流直導線運動，求導體棒上產生的動生電動勢。
圖6 導體棒沿無限長載流直導線運動
設無限長載流直導線中電流為\(I\)，按如圖6建立坐標系，導體棒\(x\)處長度\(\mathrm dx\)的線元產生的動生電動勢為：
\begin{equation*} \mathrm d\mathcal{E}=\left (\vec{v}\times \vec{B}\right ) \cdot \mathrm d\vec{x}=-vB\mathrm dx \end{equation*}
導體棒上產生的電動勢為
\begin{equation*} \mathcal{E}=\int \mathrm d\mathcal{E}=-\int_d^{d+L} vB\mathrm dx=-\frac{\mu_0 Iv}{2\pi}\int_d^{d+L}\frac{\mathrm dx}{x}=\frac{\mu_0 Iv}{2\pi}\ln\frac{d}{d+L} \end{equation*}
電動勢方向為總右指向左。
例3 交流發電機
感生電動勢
圖7 導體線圈套在通電螺線管外
如圖7，通電螺線管外套一導體線圈，如果螺線管內的電流是隨時間變化的，這導體線圈內會產生感應電動勢，根據法拉第定律，
\begin{equation*} \mathcal{E}=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}=-\mu_0 n S\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt} \end{equation*}
那么導體線圈內的感應電動勢是怎么來的？對應的非靜電力是什么？顯然不是洛倫茲力。導體內自由電荷作定向運動的非靜電力只能是變化的磁場引起的。這種非靜電力能對靜止電荷有作用力, 麥克斯韋認為，這種力本質上是電場力，麥克斯韋把這種電場稱為感應電場，或渦旋電場。麥克斯韋認為，即使不存在導體線圈，變化的磁場在其周圍空間激發出感應電場，感應電場的電場線是閉合的，因此也稱為渦旋電場, 顯然感應電場是非保守場。
圖8 渦旋電場
圖7中導體線圈中產生的感應電動勢稱為感生電動勢，如圖8所示。感生電動勢對應的非靜電力是渦旋電場力，即
\begin{equation*} \mathcal{E}=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}=\oint \vec{E}_v\cdot\mathrm d\vec{l}=-\int \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}
| 靜電場 | 渦旋電場 | |
|---|---|---|
| 場源 | 靜止的電荷 | 變化的磁場 |
| 高斯定理 | \(\oint \vec{E}\cdot \mathrm d\vec{S}=q_{內}/\varepsilon_0\)有源場 | \(\oint \vec{E}\cdot \mathrm d\vec{S}=0無源場\) |
| 環路定理 | \(\oint \vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}=0\)無旋場 | \(\oint \vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}=-\int \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm d\vec{S}有旋場\) |
| 電場線 | 起於正電荷，終於負電荷 | 閉合曲線 |
| 場力 | \(\vec{F}=q\vec{E}\) | \(\vec{F}=q\vec{E}_v\) |
參考資料
- Fundamentals of Physics, Extended 10th
- Young and Freedman, University Physics, 13th Ed
- 張三慧《電磁學》
- 趙凱華《電磁學》